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Bases de la trigonométrie

Cercle trigonométrique, radian, cos / sin / tan, valeurs remarquables, formules de réduction.

أساسيات الحساب المثلثي : الدائرة المثلثية، الراديان، جيب التمام والجيب والظل، القيم الاعتيادية، النسب المثلثية للزوايا المرتبطة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Le cercle trigonométrique et le radian

Définition : Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé direct $(O, i, j)$ . Il est orienté positivement dans le sens trigonométrique (sens contraire des aiguilles d'une montre).

Définition : Le radian

Le radian est l'unité d'angle telle qu'un angle de $1$ rad correspond à un arc de longueur $1$ sur le cercle trigonométrique. Comme la circonférence vaut $2 π$ , on a la correspondance fondamentale :

36 0^{\circ} = 2 π rad, donc 1^{\circ} = \frac{π}{180} rad, 1 rad = \frac{180}{π}^{\circ} .

Exemple

Conversion :

$3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ rad ;
$4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ rad ;
$6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ rad ;
$9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ rad ;
$18 0^{\circ} = π$ rad ;
$- \frac{2 π}{3}$ rad $= - 12 0^{\circ}$ .

Cosinus, sinus, tangente d'un réel

Définition : cos, sin, tan d'un nombre réel

Soit $x \in R$ . On considère le point $M$ du cercle trigonométrique associé à l'arc orienté de mesure $x$ rad à partir du point $A (1; 0)$ . Les coordonnées de $M$ dans le repère $(O, i, j)$ sont :

M (cos x; sin x) .

La tangente de $x$ , notée $tan x$ , est définie pour $cos x \neq = 0$ par :

tan x = sin \frac{x}{cos} x .

Propriété : Propriétés immédiates

Pour tout $x \in R$ :

$- 1 \leq cos x \leq 1$ et $- 1 \leq sin x \leq 1$ .
$cos x = cos (x + 2 k π)$ et $sin x = sin (x + 2 k π)$ pour tout $k \in Z$ (périodicité $2 π$ ).
$tan x = tan (x + k π)$ (périodicité $π$ ).

Relation fondamentale

Théorème : Identité fondamentale

Pour tout $x \in R$ :

cos^{2} x + sin^{2} x = 1.

Démonstration

Le point $M (cos x; sin x)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , donc $O M = 1$ , c'est-à-dire $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .

Propriété

Si $cos x \neq = 0$ : $1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2}} x .$

Démonstration

En divisant l'identité fondamentale par $cos^{2} x$ : $1 + \frac{s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{c o s ^{2}} x$ , soit $1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2}} x$ .

Signes selon le quadrant

Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants par les axes :

1 $er$ quadrant ( $0 < x < \frac{π}{2}$ ) : $cos > 0$ , $sin > 0$ , $tan > 0$ .
2 $e$ quadrant ( $\frac{π}{2} < x < π$ ) : $cos < 0$ , $sin > 0$ , $tan < 0$ .
3 $e$ quadrant ( $π < x < \frac{3 π}{2}$ ) : $cos < 0$ , $sin < 0$ , $tan > 0$ .
4 $e$ quadrant ( $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ ) : $cos > 0$ , $sin < 0$ , $tan < 0$ .

Valeurs remarquables

Théorème : Tableau des valeurs remarquables

Exemple

Calculer $A = cos^{2} (\frac{π}{6}) + sin^{2} (\frac{π}{3}) - tan^{2} (\frac{π}{4})$ . $A = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}$ .

Formules de réduction

Ces formules permettent de ramener cos / sin / tan d'un angle quelconque à un angle de $[0, \frac{π}{2}]$ . Elles découlent des symétries du cercle trigonométrique.

Théorème : Angles opposés et supplémentaires

Pour tout $x \in R$ :

$cos (- x) = cos x$ et $sin (- x) = - sin x$ et $tan (- x) = - tan x$ (parité).
$cos (π - x) = - cos x$ , $sin (π - x) = sin x$ , $tan (π - x) = - tan x$ (supplémentaires).
$cos (π + x) = - cos x$ , $sin (π + x) = - sin x$ , $tan (π + x) = tan x$ .

Théorème : Angles complémentaires

Pour tout $x \in R$ :

$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ , $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ .
$cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$ , $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ .

Exemple

Calcul de $cos (\frac{5 π}{6})$ : $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , donc $cos (\frac{5 π}{6}) = - cos (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$ .

Calcul de $sin (- \frac{7 π}{4})$ : par parité, $sin (- \frac{7 π}{4}) = - sin (\frac{7 π}{4})$ . Et $\frac{7 π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$ , donc $sin (\frac{7 π}{4}) = - sin (\frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$ . Donc $sin (- \frac{7 π}{4}) = \frac{2}{2}$ .

Application : équations simples par lecture sur le cercle

L'étude approfondie des équations $cos x = a$ , $sin x = a$ , $tan x = a$ est faite au Chapitre 11. Mentionnons la lecture directe sur le cercle :

Exemple

Résoudre $cos x = \frac{1}{2}$ sur $[0, 2 π]$ . Sur le cercle, les points dont l'abscisse vaut $\frac{1}{2}$ sont obtenus pour $x = \frac{π}{3}$ ou $x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}$ . Donc sur $[0, 2 π]$ , $S = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$ .

Exemple

Résoudre $sin x = \frac{2}{2}$ sur $[0, 2 π]$ . Les points d'ordonnée $\frac{2}{2}$ sont obtenus pour $x = \frac{π}{4}$ ou $x = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ . Donc $S = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$ .

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Calcul de sinus et tangente à partir du cosinus
On donne $cos α = \frac{2}{5}$ avec $- \frac{π}{2} < α < 0$ .
1. Calculer $sin α$ .
2. En déduire $tan α$ .
3. Calculer $cos (π - α)$ , $sin (π + α)$ et $cos (\frac{π}{2} - α)$ .
Voir la correction
1. D'après la relation fondamentale $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ : $sin^{2} α = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$ , donc $sin α = \pm \frac{21}{5}$ . Comme $- \frac{π}{2} < α < 0$ , le point image de $α$ est dans le 4ᵉ quadrant : $sin α < 0$ . Donc $sin α = - \frac{21}{5}$ .
2. $tan α = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{- \frac{21}{5}}{\frac{2}{5}} = - \frac{21}{2}$ .
3. Formules de réduction : $cos (π - α) = - cos α = - \frac{2}{5}$ ; $sin (π + α) = - sin α = \frac{21}{5}$ ; $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α = - \frac{21}{5}$ .
Expression en fonction du cosinus d'un angle remarquable
Soit $a$ un réel tel que $cos a = \frac{1}{2}$ et $0 < a < \frac{π}{2}$ .
1. Calculer $A = cos^{3} a + cos^{2} a - cos a$ .
2. Déterminer la valeur de $a$ , puis calculer $sin a$ et $tan a$ .
3. Calculer $B = 2 sin a cos a$ et $C = cos^{2} a - sin^{2} a$ .
Voir la correction
1. $A = (\frac{1}{2})^{3} + (\frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1 + 2 - 4}{8} = - \frac{1}{8}$ .
2. Sur $0 < a < \frac{π}{2}$ , $cos a = \frac{1}{2}$ donne $a = \frac{π}{3}$ (valeur remarquable). Alors $sin a = sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ et $tan a = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ .
3. $B = 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ et $C = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{2}$ . (On reconnaît $B = sin (2 a) = sin (\frac{2 π}{3})$ et $C = cos (2 a) = cos (\frac{2 π}{3})$ .)
Équation du second degré et équation trigonométrique
1. Résoudre dans $R$ l'équation $4 x^{2} - 2 (3 + 1) x + 3 = 0$ .
2. En déduire les solutions dans $] - π, π]$ de l'équation $4 cos^{2} t - 2 (3 + 1) cos t + 3 = 0$ .
Voir la correction
1. Discriminant : $Δ = 4 (3 + 1)^{2} - 163 = 4 (3 + 23 + 1) - 163 = 16 - 83$ . Or $(3 - 1)^{2} = 3 - 23 + 1 = 4 - 23$ , donc $Δ = 4 (3 - 1)^{2}$ et $Δ = 2 (3 - 1)$ . Les solutions sont $x_{1} = \frac{2 ( 3 + 1 ) + 2 ( 3 - 1 )}{8} = \frac{4 3}{8} = \frac{3}{2}$ et $x_{2} = \frac{2 ( 3 + 1 ) - 2 ( 3 - 1 )}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
2. En posant $x = cos t$ , l'équation devient celle de la question 1, donc $cos t = \frac{3}{2}$ ou $cos t = \frac{1}{2}$ . $cos t = \frac{3}{2}$ donne $t = \frac{π}{6}$ ou $t = - \frac{π}{6}$ ; $cos t = \frac{1}{2}$ donne $t = \frac{π}{3}$ ou $t = - \frac{π}{3}$ . Ensemble des solutions dans $] - π, π]$ : $S = {- \frac{π}{3}, - \frac{π}{6}, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}}$ .
Simplification par les formules de réduction
Soit $E (x) = cos (π + x) + sin (\frac{π}{2} + x) - cos (- x) + sin (π - x) + cos (\frac{3 π}{2} + x)$ .
1. Simplifier $E (x)$ .
2. Calculer $E (\frac{π}{6})$ .
Voir la correction
1. Formules de réduction : $cos (π + x) = - cos x$ ; $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ ; $cos (- x) = cos x$ ; $sin (π - x) = sin x$ ; $cos (\frac{3 π}{2} + x) = sin x$ . Donc $E (x) = - cos x + cos x - cos x + sin x + sin x = 2 sin x - cos x$ .
2. $E (\frac{π}{6}) = 2 \times \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2 - 3}{2}$ .
Démonstration d'une identité
Soit $x$ un réel tel que $cos x \neq = 0$ .
1. Montrer que $(1 + sin x) (1 - sin x) = cos^{2} x$ .
2. En déduire que $\frac{1}{1 - s i n x} + \frac{1}{1 + s i n x} = \frac{2}{c o s ^{2} x}$ .
3. Calculer la valeur de cette expression pour $x = \frac{π}{4}$ .
Voir la correction
1. $(1 + sin x) (1 - sin x) = 1 - sin^{2} x = cos^{2} x$ (identité remarquable puis relation fondamentale). Comme $cos x \neq = 0$ , on a $sin x \neq = \pm 1$ , donc les dénominateurs de la question 2 sont non nuls.
2. En réduisant au même dénominateur : $\frac{1}{1 - s i n x} + \frac{1}{1 + s i n x} = \frac{( 1 + s i n x ) + ( 1 - s i n x )}{( 1 - s i n x ) ( 1 + s i n x )} = \frac{2}{c o s ^{2} x}$ .
3. Pour $x = \frac{π}{4}$ : $cos^{2} (\frac{π}{4}) = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}$ , donc l'expression vaut $\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Un angle de $15 0^{\circ}$ mesure en radians :
2.
Sur le cercle trigonométrique, le point $M$ associé au réel $x$ a pour coordonnées :
3.
La tangente $tan x = sin \frac{x}{c o s} x$ n'est pas définie lorsque :
4.
Si $cos x = - \frac{3}{5}$ et $\frac{π}{2} < x < π$ , alors $sin x =$
5.
La fonction tangente est périodique de période :
6.
Si $π < x < \frac{3 π}{2}$ (troisième quadrant), alors :
7.
$tan (\frac{π}{6})$ est égal à :
8.
$cos (\frac{3 π}{4})$ est égal à :
9.
Pour tout réel $x$ , $sin (\frac{π}{2} - x)$ est égal à :
10.
Les solutions de $cos x = - \frac{1}{2}$ sur $[0, 2 π]$ sont :

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Le cercle trigonométrique et le radian

Cosinus, sinus, tangente d'un réel

Relation fondamentale

Signes selon le quadrant

Valeurs remarquables

Formules de réduction

Application : équations simples par lecture sur le cercle

Exercices type contrôle corrigés

01Calcul de sinus et tangente à partir du cosinus

02Expression en fonction du cosinus d'un angle remarquable

03Équation du second degré et équation trigonométrique

04Simplification par les formules de réduction

05Démonstration d'une identité

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Calcul de sinus et tangente à partir du cosinus

Expression en fonction du cosinus d'un angle remarquable

Équation du second degré et équation trigonométrique

Simplification par les formules de réduction

Démonstration d'une identité