Les fonctions numériques — généralités

Une fonction numérique $f$ d'une variable réelle est une règle qui à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f\subseteq \mathbb{R}$ (le domaine de définition) associe un unique réel noté $f(x)$ (l'image de $x$). On note $f:D_f\to \mathbb{R}$, $x\mapsto f(x)$.

Déterminer les domaines de :

1. $f(x)=x^2-3x$ : $D_f=\mathbb{R}$.
2. $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ : $D_g=\mathbb{R}2$.
3. $h(x)=\sqrt{x-3}$ : $D_h=[3,+\infty [$.
4. $k(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ : signe de $\frac{x+2}{x-1}$. Tableau de signes : $D_k=]-\infty ,-2]\cup ]1,+\infty [$.

La courbe représentative de $f$ dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est l'ensemble des points $M(x;f(x))$ pour $x\in D_f$.

Soit $f$ définie sur $D_f$, avec $D_f$ symétrique par rapport à $0$ ($x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f$).

• $f$ est paire si pour tout $x\in D_f$, $f(-x)=f(x)$.
• $f$ est impaire si pour tout $x\in D_f$, $f(-x)=-f(x)$.

• Si $f$ est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Si $f$ est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.

• $x\mapsto x^2$ : paire ($(-x{)}^2=x^2$).
• $x\mapsto x^3$ : impaire ($(-x{)}^3=-x^3$).
• $x\mapsto |x|$ : paire.
• $x\mapsto x^2+x$ : ni paire ni impaire ($f(-1)=0\ne f(1)=2$).

Une fonction $f$ est périodique de période $T>0$ si pour tout $x\in D_f$ : $x+T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$. La plus petite période strictement positive (si elle existe) s'appelle la période fondamentale.

• $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques.
• $\tan$ est $\pi$-périodique.
• La fonction "partie fractionnaire" est $1$-périodique.

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est croissante sur $I$ si pour tous $x_1,x_2\in I$, $x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$.
• $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous $x_1,x_2\in I$, $x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$.
• $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) si l'inégalité est stricte.
• $f$ est constante sur $I$ si $f(x_1)=f(x_2)$ pour tous $x_1,x_2\in I$.

Pour $f(x)=x^2$ :

Soit $f$ définie sur $I$ et $x_0\in I$.

• $f$ admet un maximum (global) en $x_0$ si pour tout $x\in I$, $f(x)\le f(x_0)$. La valeur $f(x_0)$ s'appelle alors maximum de $f$ sur $I$.
• De même pour le minimum.
• On parle d'extremum local si la propriété n'est vraie que sur un voisinage de $x_0$.

$f(x)=x^2+1$ admet un minimum global $1$ atteint en $0$. $g(x)=-x^2+4$ admet un maximum global $4$ atteint en $0$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $D_f$ et $D_g$. Pour $x\in D_f\cap D_g$ :

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$.
• $(fg)(x)=f(x)g(x)$.
• $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ si $g(x)\ne 0$.
• Composée : $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ pour $x\in D_f$ tel que $f(x)\in D_g$.

Soit $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2$. Alors :

• $(f+g)(x)=x^2+x+1$ ;
• $(g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1{)}^2$ ;
• $(f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+1$.

Noter que $f\circ g\ne g\circ f$ en général.

Soit $f$ une fonction et $C_f$ sa courbe. Pour $a,b,k\in \mathbb{R}$ avec $k>0$ :

1. $g(x)=f(x)+b$ : $C_g$ se déduit de $C_f$ par translation verticale de vecteur $b\overrightarrow{j}$.
2. $g(x)=f(x-a)$ : $C_g$ se déduit de $C_f$ par translation horizontale de vecteur $a\overrightarrow{i}$.
3. $g(x)=-f(x)$ : $C_g$ est la symétrique de $C_f$ par rapport à l'axe des abscisses.
4. $g(x)=f(-x)$ : $C_g$ est la symétrique de $C_f$ par rapport à l'axe des ordonnées.
5. $g(x)=kf(x)$ : $C_g$ est la dilatation verticale de $C_f$ par le facteur $k$.

Soit $f(x)=x^2$. La courbe de $g(x)=(x-2{)}^2+3$ est la translatée de la parabole $f$ par le vecteur $(2;3)$.