MATHEMATICS · Tronc Commun Scientifique · Tronc Commun

La projection dans le plan

Projection parallèle, conservation de l'alignement et des rapports, théorème de Thalès revisité.

الإسقاط في المستوى : الإسقاط الموازي، الحفاظ على الاستقامية والنسب، مبرهنة طاليس ومعكوسها.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition de la projection parallèle

Définition : Projeté d'un point

Soient $(D)$ et $(Δ)$ deux droites non parallèles (sécantes ou perpendiculaires) du plan. Pour tout point $M$ du plan, on appelle projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ l'unique point $M^{'}$ d'intersection de la droite $(D)$ et de la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ .

L'application qui à tout point $M$ associe son projeté $M^{'}$ s'appelle la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ .

Exemple

Si $(Δ)$ est perpendiculaire à $(D)$ , on parle de projection orthogonale. C'est le cas particulier le plus utilisé en géométrie.

Cas particulier : projeté d'un point de la droite

Si $M \in (D)$ , alors la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ rencontre $(D)$ en $M$ lui-même : la projection laisse invariant chaque point de $(D)$ .

Propriétés fondamentales

Théorème : Conservation de l'alignement

La projection conserve l'alignement : si trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, leurs projetés $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ sont aussi alignés (ils sont d'ailleurs tous sur $(D)$ ).

Théorème : Conservation du milieu

Le projeté du milieu d'un segment est le milieu des projetés des extrémités. Plus précisément, si $I$ est le milieu de $[A B]$ et $A^{'}$ , $B^{'}$ , $I^{'}$ leurs projetés respectifs, alors $I^{'}$ est le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ .

Théorème : Conservation des rapports

Soit $A$ , $B$ , $C$ trois points alignés sur une droite $(L)$ avec $A \neq = B$ , et $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ leurs projetés. Alors :

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B} .

Si l'on travaille avec des mesures algébriques :

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B} .

Le théorème de Thalès revisité

Théorème : Théorème de Thalès

Soient $(d_{1})$ et $(d_{2})$ deux droites sécantes en $A$ . Soient $B \in (d_{1})$ , $C \in (d_{1})$ d'une part, et $B^{'} \in (d_{2})$ , $C^{'} \in (d_{2})$ d'autre part, tels que les droites $(B B^{'})$ et $(C C^{'})$ soient parallèles. Alors :

\frac{A B ^{'}}{A B} = \frac{A C ^{'}}{A C} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} .

Démonstration

La projection sur $(d_{2})$ parallèlement à la direction $(B B^{'})$ envoie $B$ sur $B^{'}$ , $C$ sur $C^{'}$ et $A$ sur $A$ (car $A \in (d_{2})$ ). Par conservation des rapports le long de $(d_{1})$ : $\frac{A B ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{A B}{A C}$ . Pour la troisième égalité, on utilise le triangle et un raisonnement analogue dans la configuration parallèle.

Exemple

Soit $A B C$ un triangle. $M$ est un point de $[A B]$ tel que $A M = (\frac{1}{3}) A B$ . La parallèle à $(B C)$ passant par $M$ coupe $(A C)$ en $N$ . Alors $A N = (\frac{1}{3}) A C$ et $M N = (\frac{1}{3}) B C$ .

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème : Réciproque

Si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ( $B \neq = A$ ), $A$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ alignés ( $B^{'} \neq = A$ ), et si :

\frac{A B ^{'}}{A B} = \frac{A C ^{'}}{A C},

et que $B^{'}$ et $B$ sont du même côté de $A$ (et de même $C^{'}$ et $C$ ), alors les droites $(B B^{'})$ et $(C C^{'})$ sont parallèles.

Projection et vecteurs

Propriété : Conservation de la colinéarité

Soit $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ . Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ :

p(A) p(B) \text{ et } p(C) p(D) \text{ sont colinéaires si et seulement si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{CD} "le sont (sur$(D)$)."

La projection envoie un vecteur $A B$ sur le vecteur $A^{'} B^{'}$ , qui est colinéaire à $(D)$ .

Composition de projections

Considérer la projection $p_{1}$ sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ puis $p_{2}$ sur $(D^{'})$ parallèlement à $(Δ^{'})$ : le point $M$ est envoyé sur $p_{2} (p_{1} (M))$ . La composition n'est en général pas une projection, mais une application affine particulière (translations, homothéties — voir chapitre 10).

Exemple

Si $(D) = (D^{'})$ et $(Δ) = (Δ^{'})$ , $p_{2} \circ p_{1} = p_{1}$ : projeter deux fois sur la même droite ne change rien après la première fois.

Documents

Lis le cours directement dans l'application, ou télécharge le PDF pour le consulter hors ligne.

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
Le projeté $M^{'}$ d'un point $M$ sur la droite $(D)$ parallèlement à la droite $(Δ)$ est :
2.
Pour définir la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ , les droites $(D)$ et $(Δ)$ doivent être :
3.
On parle de projection orthogonale sur $(D)$ lorsque :
4.
Si le point $M$ appartient déjà à la droite $(D)$ , son projeté sur $(D)$ est :
5.
Soit $I$ le milieu de $[A B]$ et $A^{'}$ , $B^{'}$ , $I^{'}$ les projetés de $A$ , $B$ , $I$ . Alors :
6.
Parmi les notions suivantes, celle que la projection ne conserve pas en général est :
7.
Dans un triangle $A B C$ , $M$ est le point de $[A B]$ tel que $A M = 2$ et $A B = 6$ . La parallèle à $(B C)$ passant par $M$ coupe $(A C)$ en $N$ . Si $B C = 9$ , alors $M N =$
8.
Deux droites sécantes en $A$ portent $B$ , $C$ d'un côté et $B^{'}$ , $C^{'}$ de l'autre, avec $(B B^{'}) ∥ (C C^{'})$ . Si $A B = 4$ , $A B^{'} = 6$ et $A C = 10$ , alors $A C^{'} =$
9.
Pour conclure par la réciproque de Thalès que $(B B^{'})$ et $(C C^{'})$ sont parallèles, il faut vérifier que :
10.
Soit $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ . Pour tout point $M$ , $p (p (M))$ est égal à :

Encore 10 questions.