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Le produit scalaire dans le plan

Trois définitions équivalentes, propriétés, orthogonalité, théorème d'Al-Kashi, équation d'un cercle.

الجداء السلمي في المستوى : ثلاثة تعاريف متكافئة للجداء السلمي، الخاصيات، التعامد، مبرهنة الكاشي، معادلة دائرة.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définitions du produit scalaire

Définition : Définition par la norme et le cosinus

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de $u$ et $v$ , noté $u \cdot v$ , est le réel :

u \cdot v = ∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times cos (u, v) .

Si $u = 0$ ou $v = 0$ , on pose $u \cdot v = 0$ .

Théorème : Définition par les coordonnées (repère orthonormé)

Dans un repère orthonormé, si $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , alors :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .

Démonstration

C'est l'expression de $∣∣ u ∣∣∣∣ v ∣∣ cos θ$ par développement en coordonnées (admis ici en TC).

Théorème : Définition par la projection orthogonale

Soit $v \neq = 0$ et $u^{'}$ le projeté orthogonal de $u$ sur la direction de $v$ . Alors :

u \cdot v = ε ∣∣ u^{'} ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣

où $ε = + 1$ si $u^{'}$ et $v$ ont même sens, $- 1$ sinon.

Propriétés algébriques

Propriété : Propriétés fondamentales

Pour tous vecteurs $u, v, w$ et tout réel $k$ :

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ .
Bilinéarité : $(u + w) \cdot v = u \cdot v + w \cdot v$ , et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ .
Carré scalaire : $u \cdot u = ∣∣ u ∣ ∣^{2}$ (noté $u^{2}$ ).

Identités de polarisation

Théorème

Pour tous vecteurs $u, v$ :

$∣∣ u + v ∣ ∣^{2} = ∣∣ u ∣ ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣∣ v ∣ ∣^{2}$ .
$∣∣ u - v ∣ ∣^{2} = ∣∣ u ∣ ∣^{2} - 2 u \cdot v + ∣∣ v ∣ ∣^{2}$ .
$arrow(u) dot arrow(v) = (1/2)(||arrow(u) + arrow(v)||^2 - ||arrow(u)||^2

||arrow(v)||^2)$.

$arrow(u) dot arrow(v) = (1/4)(||arrow(u) + arrow(v)||^2

||arrow(u) - arrow(v)||^2)$.

Orthogonalité

Définition

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux, noté $u ⊥ v$ , si $u \cdot v = 0$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Exemple

Dans un repère orthonormé, $u (2; 3)$ et $v (- 3; 2)$ sont orthogonaux : $2 \times (- 3) + 3 \times 2 = 0$ .

Théorème : Caractérisation par les coordonnées

Dans un repère orthonormé, $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont orthogonaux si et seulement si :

x x^{'} + y y^{'} = 0.

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Théorème : Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle $A B C$ :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times cos (A^) .

Démonstration

$B C = A C - A B$ . Donc : $B C^{2} = B C^{2} = A C^{2} - 2 A B \cdot A C + A B^{2} = A C^{2} - 2 A B \times A C \times cos (A^) + A B^{2}$ .

Exemple

Dans un triangle, $A B = 5$ , $A C = 7$ , $A^= 6 0^{\circ}$ . Calculer $B C$ . $B C^{2} = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times cos 6 0^{\circ} = 74 - 35 = 39$ . Donc $B C = 39$ .

Théorème de la médiane

Théorème : Théorème de la médiane

Soit $A B C$ un triangle et $I$ le milieu de $[B C]$ . Alors :

A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2} .

Démonstration

$A B + A C = 2 A I$ . Élevons au carré : $A B^{2} + 2 A B \cdot A C + A C^{2} = 4 A I^{2}$ . (*) D'autre part, $B C = A C - A B$ , donc $B C^{2} = A C^{2} - 2 A B \cdot A C + A B^{2}$ , soit $2 A B \cdot A C = A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}$ . (**) En substituant (*) dans () : $2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2} = 4 A I^{2}$ , d'où le résultat.

Équation cartésienne d'un cercle

Théorème : Cercle de centre

Ω

et de rayon

r

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $Ω$ de coordonnées $(a; b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .

Démonstration

$M (x; y)$ appartient au cercle ssi $Ω M = r$ , soit $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

Théorème : Cercle défini par un diamètre

Soient $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ . Le cercle de diamètre $[A B]$ est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $M A \cdot M B = 0$ , soit :

(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) = 0.

Démonstration

$M$ est sur le cercle de diamètre $[A B]$ ssi l'angle $A M B^= \frac{π}{2}$ (théorème de l'angle inscrit dans le demi-cercle), ce qui équivaut à $M A ⊥ M B$ .

Exemple

Équation du cercle de diamètre $[A B]$ avec $A (1; 2)$ et $B (5; 4)$ : $(x - 1) (x - 5) + (y - 2) (y - 4) = 0$ . En développant : $x^{2} - 6 x + 5 + y^{2} - 6 y + 8 = 0$ , soit $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 13 = 0$ . On peut vérifier que c'est le cercle de centre $(3; 3)$ et de rayon $5$ (forme canonique : $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ ).

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Si $∥ u ∥ = 3$ , $∥ v ∥ = 4$ et l'angle $(u, v)$ mesure $\frac{π}{3}$ , alors $u \cdot v =$
2.
Dans un repère orthonormé, $u (2; - 1)$ et $v (3; 4)$ . Alors $u \cdot v =$
3.
Dans un repère orthonormé, lequel de ces vecteurs est orthogonal à $u (4; - 2)$ ?
4.
Si $∥ u ∥ = 5$ , alors $u \cdot u$ vaut :
5.
Si $∥ u ∥ = 2$ , $∥ v ∥ = 3$ et $u \cdot v = - 1$ , alors $∥ u + v ∥^{2} =$
6.
Si $u \cdot v = 3$ , alors $(2 u) \cdot (3 v) =$
7.
Dans un triangle $A B C$ , $A B = 3$ , $A C = 5$ et $A^= 6 0^{\circ}$ . Alors $B C =$
8.
Dans un triangle $A B C$ , $A B = 5$ , $A C = 7$ , $B C = 8$ et $I$ est le milieu de $[B C]$ . Alors $A I =$
9.
Dans un repère orthonormé, le cercle d'équation $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ a pour centre et rayon :
10.
Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ (avec $M \neq = A$ , $M \neq = B$ ) si et seulement si :

Encore 10 questions.