Transformations usuelles dans le plan

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur. La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$, notée $t_{\overrightarrow{u}}$, est l'application qui à tout point $M$ associe l'unique point $M^{\prime }=t_{\overrightarrow{u}}(M)$ tel que :

1. La translation conserve les distances : $M^{\prime }{N}^{\prime }=MN$.
2. Elle conserve l'alignement, le parallélisme, les angles, et les milieux.
3. Image d'une droite : une droite parallèle à la première.
4. Image d'un cercle : un cercle de même rayon.

Dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, soit $\overrightarrow{u}(a;b)$. La translation $t_{\overrightarrow{u}}$ envoie $M(x;y)$ sur $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ avec :

Soit $\Omega$ un point du plan. La symétrie centrale de centre $\Omega$, notée $s_{\Omega }$, associe à tout point $M$ l'unique point $M^{\prime }=s_{\Omega }(M)$ tel que $\Omega$ soit le milieu de $[M{M}^{\prime }]$, c'est-à-dire :

La symétrie centrale conserve les distances et conserve l'orientation des angles (c'est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\pi$, contrairement à la symétrie axiale). C'est aussi l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $-1$ (voir section 5).

Soit $\Omega$ de coordonnées $(a;b)$. Alors $s_{\Omega }$ envoie $M(x;y)$ sur $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ avec :

Soit $(D)$ une droite. La symétrie axiale d'axe $(D)$, notée $s_D$, associe à tout point $M$ l'unique point $M^{\prime }=s_D(M)$ tel que $(D)$ soit la médiatrice du segment $[M{M}^{\prime }]$ (et $M^{\prime }=M$ si $M\in (D)$).

La symétrie axiale conserve les distances. Elle change l'orientation des angles (c'est une isométrie indirecte).

Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : $s(x;y)=(x;-y)$. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : $s(x;y)=(-x;y)$.

Soit $\Omega$ un point et $\theta \in \mathbb{R}$ une mesure d'angle (en rad). La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$, notée $r_{\Omega ,\theta }$, associe à tout point $M$ l'unique point $M^{\prime }=r_{\Omega ,\theta }(M)$ tel que :

• $\Omega M^{\prime }=\Omega M$ (même distance au centre) ;
• l'angle orienté $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime }})=\theta$. Et $r_{\Omega ,\theta }(\Omega )=\Omega$.

1. La rotation conserve les distances (isométrie).
2. Conserve les angles, l'alignement, le parallélisme, les cercles.
3. Cas particuliers : $r_{\Omega ,0}=id$ ; $r_{\Omega ,\pi }$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.

Soit $\Omega$ un point et $k\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$, notée $h_{\Omega ,k}$, associe à tout point $M$ l'unique point $M^{\prime }=h_{\Omega ,k}(M)$ tel que :

Soit $h=h_{\Omega ,k}$ et $M^{\prime },N^{\prime }$ les images de $M,N$.

1. $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=k\overrightarrow{MN}$ : la longueur est multipliée par $|k|$.
2. L'image d'une droite est une droite parallèle.
3. L'image d'un cercle de rayon $r$ est un cercle de rayon $|k|r$.
4. Les angles sont conservés.
5. Les aires sont multipliées par $k^2$.
6. Cas particuliers : $k=1$ donne l'identité ; $k=-1$ donne la symétrie centrale de centre $\Omega$.

Soit $\Omega$ de coordonnées $(x_{\Omega };y_{\Omega })$ et $k\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Alors $h_{\Omega ,k}$ envoie $M(x;y)$ sur $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ avec :

Soit $\Omega$ le point $(2;1)$ et $k=3$. Image de $M(4;-1)$ par $h_{\Omega ,3}$ : $x^{\prime }=2+3(4-2)=8$ ; $y^{\prime }=1+3(-1-1)=-5$. Donc $M^{\prime }(8;-5)$.

La composée de deux translations est une translation : $t_{\overrightarrow{v}}\circ t_{\overrightarrow{u}}=t_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}$.

Soient ${\Omega }_1$ et ${\Omega }_2$ deux points distincts. La composée $s_{{\Omega }_2}\circ s_{{\Omega }_1}$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}$.

$h_{\Omega ,k^{\prime }}\circ h_{\Omega ,k}=h_{\Omega ,k{k}^{\prime }}$.