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Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

Inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, irrationalité de √2, puissances, racines, valeur absolue.

مجموعات الأعداد ℕ و ℤ و 𝔻 و ℚ و ℝ : الاحتواء ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ، لاجذرية √2، القوى، الجذور المربعة والقيمة المطلقة.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Les ensembles usuels de nombres

Avant d'aborder les fonctions, l'analyse et la géométrie analytique, il faut fixer une fois pour toutes l'univers dans lequel on travaille : l'ensemble des nombres réels et ses sous-ensembles importants.

Définition : Les cinq ensembles usuels

$N$ : ensemble des entiers naturels, $N = 0, 1, 2, 3, \dots$ .
$Z$ : ensemble des entiers relatifs, $Z = \dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$ .
$D$ : ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire les nombres de la forme $\frac{a}{1 0 ^{n}}$ avec $a \in Z$ et $n \in N$ .
$Q$ : ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire les nombres de la forme $\frac{p}{q}$ avec $p \in Z$ et $q \in Z^{*}$ .
$R$ : ensemble des nombres réels.

Propriété : Chaîne d'inclusion

N \subseteq Z \subseteq D \subseteq Q \subseteq R .

Les inclusions sont strictes : par exemple $- 3 \in Z$ mais $- 3 \in / N$ , $0, 5 \in D$ mais $0, 5 \in / Z$ , $\frac{1}{3} \in Q$ mais $\frac{1}{3} \in / D$ , et $2 \in R$ mais $2 \in / Q$ (voir section 3).

Exemple

Classer chacun des nombres suivants dans le plus petit ensemble auquel il appartient :

7, - 4, 0, 75, \frac{2}{3}, 5, π .

$7 \in N$ (donc aussi dans $Z, D, Q, R$ ).
$- 4 \in Z$ (et pas dans $N$ ).
$0, 75 = \frac{75}{100} \in D$ (et pas dans $Z$ ).
$\frac{2}{3} \in Q$ (et pas dans $D$ : sa partie décimale est $0, 666 \dots$ ).
$5$ et $π$ sont dans $R$ mais pas dans $Q$ .

Nombres décimaux et nombres rationnels

Caractérisation des décimaux

Un nombre $x$ est dans $D$ si et seulement si on peut l'écrire sous la forme $x = \frac{a}{1 0 ^{n}}$ avec $a \in Z$ et $n \in N$ . De manière équivalente, c'est un rationnel dont le dénominateur (sous forme irréductible) ne contient que des facteurs $2$ et $5$ .

Exemple

$0, 125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \in D$ : le dénominateur $8 = 2^{3}$ ne contient que des $2$ .
$\frac{7}{40} = \frac{7}{2 ^{3} \times 5} \in D$ : il s'écrit $0, 175$ .
$\frac{1}{3} \in / D$ : le dénominateur $3$ n'est ni $2$ ni $5$ .

Développement décimal d'un rationnel

Théorème : Développement décimal

Tout nombre rationnel admet un développement décimal fini (s'il est décimal) ou infini périodique (sinon). Réciproquement, tout nombre à développement décimal périodique est un rationnel.

Exemple

$\frac{1}{4} = 0, 25$ (développement fini, donc $\frac{1}{4} \in D$ ).
$\frac{1}{3} = 0, 3333 \dots = 0, 3$ (période $3$ ).
$\frac{1}{7} = 0, 142857$ (période de longueur $6$ ).

Démonstration

Pour le sens direct, en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, les restes possibles sont en nombre fini ( $0, 1, \dots, q - 1$ si l'on divise par $q$ ). Au plus à la $q$ -ième étape, soit le reste devient nul (développement fini), soit un reste se répète et le développement entre en cycle.

Nombres irrationnels — l'exemple de $2$

Définition : Nombre irrationnel

Un nombre réel est dit irrationnel s'il n'appartient pas à $Q$ , c'est à dire s'il ne peut pas s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p \in Z$ et $q \in Z^{*}$ .

Théorème

Le nombre $2$ est irrationnel.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde. Supposons que $2 \in Q$ . Alors il existe deux entiers $p \in Z$ , $q \in N^{*}$ , premiers entre eux, tels que $2 = \frac{p}{q}$ . En élevant au carré : $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ , donc $p^{2} = 2 q^{2}$ .

Ainsi $p^{2}$ est pair, ce qui entraîne que $p$ est pair (le carré d'un impair est impair). Posons $p = 2 k$ avec $k \in Z$ . Alors $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , d'où $q^{2} = 2 k^{2}$ . Le même raisonnement montre que $q$ est pair.

Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $2$ , ce qui contredit l'hypothèse $p$ et $q$ premiers entre eux. La supposition initiale est donc fausse : $2$ n'est pas rationnel.

Exemple

Les nombres $3$ , $5$ , $π$ et le nombre d'or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ sont irrationnels. La preuve pour $3$ , $5$ et plus généralement $n$ avec $n$ non carré parfait suit le même schéma que celle de $2$ .

Puissances d'exposant entier

Définition : Puissances

Soient $a \in R^{*}$ et $n \in N^{*}$ . On pose :

a^{n} = u n d er b r a ce (a \times a \times \dots \times a, n facteurs), a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} .

Pour $a = 0$ , on définit $0^{n} = 0$ pour $n \in N^{*}$ ; $0^{0}$ n'est pas défini.

Propriété : Règles de calcul

Pour tous $a, b \in R^{*}$ et tous $n, m \in Z$ :

a^{n} \times a^{m} = a^{n + m}, (a^{n})^{m} = a^{nm}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}, \frac{a ^{n}}{a ^{m}} = a^{n - m}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} .

Exemple

Calculer $A = \frac{( 2 ^{3} \times 3 ^{2} ) ^{2}}{2 ^{4} \times 3 ^{3}}$ .

A = \frac{2 ^{6} \times 3 ^{4}}{2 ^{4} \times 3 ^{3}} = 2^{6 - 4} \times 3^{4 - 3} = 4 \times 3 = 12.

Notation scientifique

Définition : Notation scientifique

Tout nombre décimal non nul $x$ s'écrit de manière unique sous la forme

x = a \times 1 0^{n}

où $1 \leq ∣ a ∣ < 10$ et $n \in Z$ . Cette forme s'appelle l'écriture scientifique de $x$ .

Exemple

La distance Terre-Soleil est environ $149, 6$ millions de km $\approx 1, 496 \times 1 0^{8}$ km.
La masse d'un électron est environ $9, 109 \times 1 0^{- 31}$ kg.

Racine carrée et racine n-ième

Racine carrée d'un réel positif

Définition : Racine carrée

Soit $a \in R_{+}$ . La racine carrée de $a$ , notée $a$ , est l'unique réel positif dont le carré vaut $a$ :

a \geq 0 et (a)^{2} = a .

La racine carrée d'un réel strictement négatif n'existe pas dans $R$ .

Propriété : Règles de calcul

Pour tous $a, b \in R_{+}$ et $b > 0$ pour le quotient :

ab = a \times b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a^{2} = a, a^{2} = ∣ a ∣ (a \in R) .

Attention : en général $a + b \neq = a + b$ . Par exemple $9 + 16 = 25 = 5$ alors que $9 + 16 = 7$ .

Exemple

Simplifier $A = 50 - 38 + 72$ .

A = 25 \times 2 - 3 4 \times 2 + 36 \times 2 = 52 - 62 + 62 = 52 .

Rationalisation du dénominateur

Pour simplifier l'écriture d'un quotient comportant une racine au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par une expression bien choisie.

Exemple

$\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ (en multipliant haut et bas par $3$ ).
$\frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )} = \frac{5 + 2}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{3}$ .

Racine $n$ -ième

Définition : Racine

n

-ième

Soit $a \in R_{+}$ et $n \in N^{*}$ . On appelle racine $n$ -ième de $a$ l'unique réel positif $b$ tel que $b^{n} = a$ . On note $b = n a$ . Pour $n = 2$ , on retrouve la racine carrée. Pour $n = 3$ , la racine cubique $3 a$ est définie pour tout $a \in R$ (le cube conserve le signe).

Exemple

$38 = 2$ car $2^{3} = 8$ .
$3 - 27 = - 3$ car $(- 3)^{3} = - 27$ .
$416 = 2$ car $2^{4} = 16$ .

Valeur absolue d'un réel

Définition : Valeur absolue

Soit $x \in R$ . La valeur absolue de $x$ , notée $∣ x ∣$ , est définie par :

∣ x ∣ = {x si x \geq 0 - x si x < 0.

Géométriquement, $∣ x ∣$ représente la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine sur la droite réelle. Plus généralement, $∣ x - a ∣$ représente la distance entre $x$ et $a$ .

Propriété : Propriétés fondamentales

Pour tous $x, y \in R$ :

$∣ x ∣ \geq 0$ , et $∣ x ∣ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ .
$∣ x y ∣ = ∣ x ∣ \times ∣ y ∣$ et $∣ \frac{x}{y} ∣ = ∣ x ∣/∣ y ∣$ (si $y \neq = 0$ ).
$∣ x ∣^{2} = x^{2}$ et $x^{2} = ∣ x ∣$ .
Inégalité triangulaire : $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

Démonstration

Démontrons l'inégalité triangulaire. Comme $∣ x ∣^{2} = x^{2}$ et $∣ y ∣^{2} = y^{2}$ , et que $x y \leq ∣ x y ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣$ , on a :

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq ∣ x ∣^{2} + 2∣ x ∣∣ y ∣ + ∣ y ∣^{2} = (∣ x ∣ + ∣ y ∣)^{2} .

En passant à la racine carrée (les deux membres sont positifs), on obtient $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

Résolution d'équations et d'inéquations avec valeur absolue

Théorème

Soient $a \in R$ et $r \in R_{+}$ . Alors :

$∣ x - a ∣ = r \Leftrightarrow x = a + r ou x = a - r$ .
$∣ x - a ∣ \leq r \Leftrightarrow a - r \leq x \leq a + r$ .
$∣ x - a ∣ \geq r \Leftrightarrow x \leq a - r ou x \geq a + r$ .

Exemple

Résoudre $∣ x - 3∣ < 2$ .

Par le théorème, cela équivaut à $3 - 2 < x < 3 + 2$ , soit $1 < x < 5$ . L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $] 1, 5 [$ .

Exemple

Résoudre $∣2 x - 1∣ = 5$ .

Cela équivaut à $2 x - 1 = 5$ ou $2 x - 1 = - 5$ . D'où $x = 3$ ou $x = - 2$ .

Documents

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0/10 répondues

1.
Le plus petit ensemble usuel auquel appartient le nombre $- 3, 5$ est :
2.
La chaîne d'inclusion correcte est :
3.
Lequel de ces rationnels est un nombre décimal ?
4.
Le développement décimal de $\frac{5}{11}$ est :
5.
Dans la preuve que $2$ est irrationnel, on écrit $2 = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux, puis on aboutit à la contradiction :
6.
$\frac{( 2 ^{3} ) ^{2}}{2 ^{4}}$ est égal à :
7.
L'écriture scientifique de $0, 00052$ est :
8.
$12 + 27$ est égal à :
9.
Après rationalisation du dénominateur, $\frac{1}{3 - 1}$ s'écrit :
10.
L'ensemble des solutions de $∣ x - 2∣ \leq 3$ est :

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