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Équations et inéquations trigonométriques

Résolution de cos x = a, sin x = a, tan x = a, équations dérivées et inéquations sur le cercle.

المعادلات والمتراجحات المثلثية : حل المعادلات المثلثية cos x=a و sin x=a و tan x=a، المعادلات المشتقة منها والمتراجحات المثلثية على الدائرة المثلثية.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Équation $cos x = a$

Théorème

Soit $a \in R$ .

Si $∣ a ∣ > 1$ , l'équation $cos x = a$ n'a aucune solution.
Si $∣ a ∣ \leq 1$ , il existe un unique réel $α \in [0, π]$ tel que $cos α = a$ , et l'ensemble des solutions sur $R$ est :

S = α + 2 k π ∣ k \in Z \cup - α + 2 k π ∣ k \in Z .

Géométriquement : sur le cercle trigonométrique, deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Exemple

Résoudre $cos x = \frac{1}{2}$ . $α = \frac{π}{3}$ (car $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ). Solutions : $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Équation $sin x = a$

Théorème

Soit $a \in R$ .

Si $∣ a ∣ > 1$ , aucune solution.
Si $∣ a ∣ \leq 1$ , il existe un unique $α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ tel que $sin α = a$ , et :

S = α + 2 k π ∣ k \in Z \cup π - α + 2 k π ∣ k \in Z .

Géométriquement : deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple

Résoudre $sin x = \frac{2}{2}$ . $α = \frac{π}{4}$ . Solutions : $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{4} + 2 k π = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Équation $tan x = a$

Théorème

Pour tout $a \in R$ , il existe un unique $α \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ tel que $tan α = a$ , et :

S = α + k π ∣ k \in Z .

La période est $π$ (et non $2 π$ ) car la tangente est $π$ -périodique.

Exemple

Résoudre $tan x = 1$ . $α = \frac{π}{4}$ . Solutions : $x = \frac{π}{4} + k π$ , $k \in Z$ .

Équations dérivées

$cos u = cos v$ et $sin u = sin v$

Théorème

$cos u = cos v \Leftrightarrow u = v + 2 k π ou u = - v + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + 2 k π ou u = π - v + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
$tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π$ ( $k \in Z$ , $u, v \neq = \frac{π}{2} + nπ$ ).

Exemple

Résoudre $cos (2 x) = cos (x + \frac{π}{3})$ .

Soit $2 x = x + \frac{π}{3} + 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ .
Soit $2 x = - (x + \frac{π}{3}) + 2 k π$ , soit $3 x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , soit $x = - \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ .

Solutions : $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ , $k \in Z$ .

Équations par factorisation

Exemple

Résoudre $cos x \times sin x = 0$ . $cos x = 0$ ou $sin x = 0$ donc $x = \frac{π}{2} + k π$ ou $x = k π$ , ce qui se résume à $x = \frac{k π}{2}$ , $k \in Z$ .

Exemple

Résoudre $2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0$ . Posons $X = sin x$ : $2 X^{2} - X - 1 = 0$ , $Δ = 9$ , $X = 1$ ou $X = - \frac{1}{2}$ .

$sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + 2 k π$ .
$sin x = - \frac{1}{2}$ : $α = - \frac{π}{6}$ , donc $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = π - (- \frac{π}{6}) + 2 k π = \frac{7 π}{6} + 2 k π$ .

Inéquations trigonométriques

La méthode est graphique : on lit sur le cercle trigonométrique les arcs où la condition est satisfaite.

Exemple

Résoudre $cos x \geq \frac{1}{2}$ sur $[0, 2 π]$ .

L'égalité $cos x = \frac{1}{2}$ donne $x = \frac{π}{3}$ ou $x = \frac{5 π}{3}$ . Sur le cercle, les points d'abscisse $\geq \frac{1}{2}$ correspondent aux arcs proches de $A (1; 0)$ . Sur $[0, 2 π]$ :

S = [0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}, 2 π] .

Exemple

Résoudre $sin x < \frac{3}{2}$ sur $[0, 2 π]$ .

$sin x = \frac{3}{2}$ donne $x = \frac{π}{3}$ ou $x = \frac{2 π}{3}$ . Les ordonnées inférieures à $\frac{3}{2}$ sur le cercle correspondent à :

S = [0, \frac{π}{3} [\cup] \frac{2 π}{3}, 2 π] .

Linéarité auxiliaire $a cos x + b sin x$

Théorème

Pour tous $a, b$ non tous deux nuls, il existe $R = a^{2} + b^{2} > 0$ et un réel $φ$ (uniques modulo $2 π$ ) tels que :

a cos x + b sin x = R cos (x - φ) .

Le réel $φ$ est défini par $cos φ = \frac{a}{R}$ et $sin φ = \frac{b}{R}$ .

Exemple

Réécrire $cos x + 3 sin x$ sous forme $R cos (x - φ)$ . $R = 1 + 3 = 2$ . $cos φ = \frac{1}{2}$ et $sin φ = \frac{3}{2}$ , donc $φ = \frac{π}{3}$ . Donc $cos x + 3 sin x = 2 cos (x - \frac{π}{3})$ .

Application : résoudre $cos x + 3 sin x = 1$ . Cela équivaut à $2 cos (x - \frac{π}{3}) = 1$ , soit $cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ . D'où $x - \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + 2 k π$ . Solutions : $x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ ou $x = 2 k π$ , $k \in Z$ .

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Équations élémentaires
Résoudre dans $R$ , puis dans $] - π, π]$ , chacune des équations :
1. $2 cos x + 3 = 0$ ;
2. $2 sin x - 2 = 0$ ;
3. $tan x = - 3$ .
Voir la correction
1. $cos x = - \frac{3}{2} = cos (\frac{5 π}{6})$ , donc $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ ou $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ ( $k \in Z$ ). Dans $] - π, π]$ : $S = {- \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6}}$ .
2. $sin x = \frac{2}{2} = sin (\frac{π}{4})$ , donc $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{4} + 2 k π = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ . Dans $] - π, π]$ : $S = {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}}$ .
3. $tan x = - 3 = tan (- \frac{π}{3})$ , donc $x = - \frac{π}{3} + k π$ ( $k \in Z$ ). Dans $] - π, π]$ : $S = {- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}}$ .
Équation du type cos u = cos v
Résoudre dans $R$ l'équation $cos (2 x - \frac{π}{3}) = cos (x + \frac{π}{6})$ , puis placer les solutions appartenant à $[0, 2 π [$ sur le cercle trigonométrique.
Voir la correction
$cos u = cos v$ équivaut à $u = v + 2 k π$ ou $u = - v + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
- Premier cas : $2 x - \frac{π}{3} = x + \frac{π}{6} + 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ .
- Second cas : $2 x - \frac{π}{3} = - x - \frac{π}{6} + 2 k π$ , soit $3 x = \frac{π}{6} + 2 k π$ , donc $x = \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}$ .
Solutions dans $[0, 2 π [$ : $\frac{π}{2}$ (premier cas) et, pour $k = 0, 1, 2$ : $\frac{π}{18}$ , $\frac{13 π}{18}$ , $\frac{25 π}{18}$ (second cas). Soit quatre points sur le cercle.
Équation du type sin u = sin v
Résoudre dans $R$ l'équation $sin (3 x) = sin (x + \frac{π}{3})$ .
Voir la correction
$sin u = sin v$ équivaut à $u = v + 2 k π$ ou $u = π - v + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
- $3 x = x + \frac{π}{3} + 2 k π$ donne $2 x = \frac{π}{3} + 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{6} + k π$ .
- $3 x = π - x - \frac{π}{3} + 2 k π$ donne $4 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}$ .
La première famille est contenue dans la seconde (prendre $k$ pair), donc $S = {\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}; k \in Z}$ .
Équation se ramenant au second degré
Résoudre dans $[0, 2 π [$ l'équation $2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ .
Voir la correction
On pose $X = sin x$ : $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ , $Δ = 9 - 8 = 1$ , donc $X = 1$ ou $X = \frac{1}{2}$ .
- $sin x = 1$ donne $x = \frac{π}{2}$ .
- $sin x = \frac{1}{2}$ donne $x = \frac{π}{6}$ ou $x = \frac{5 π}{6}$ .
$S = {\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}}$ .
Inéquations trigonométriques
Résoudre dans $] - π, π]$ :
1. $2 cos x - 1 \geq 0$ ;
2. $2 sin x + 3 < 0$ .
Voir la correction
1. $2 cos x - 1 \geq 0$ équivaut à $cos x \geq \frac{1}{2}$ . Sur le cercle, les points d'abscisse au moins $\frac{1}{2}$ correspondent aux angles entre $- \frac{π}{3}$ et $\frac{π}{3}$ : $S = [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ .
2. $2 sin x + 3 < 0$ équivaut à $sin x < - \frac{3}{2}$ . Les points d'ordonnée strictement inférieure à $- \frac{3}{2}$ correspondent aux angles strictement compris entre $- \frac{2 π}{3}$ et $- \frac{π}{3}$ : $S =] - \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{3} [$ .
Équation a cos x + b sin x = c
Résoudre dans $R$ l'équation $cos x - 3 sin x = 1$ .
Voir la correction
On factorise par $1^{2} + (3)^{2} = 2$ : $cos x - 3 sin x = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = 2 (cos (\frac{π}{3}) cos x - sin (\frac{π}{3}) sin x) = 2 cos (x + \frac{π}{3})$ .
L'équation devient $cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} = cos (\frac{π}{3})$ , donc $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , soit $x = 2 k π$ ou $x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
Vérification : pour $x = 0$ , $1 - 0 = 1$ ; pour $x = - \frac{2 π}{3}$ , $- \frac{1}{2} - 3 \times (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
L'équation $cos x = \frac{3}{2}$ :
2.
Les solutions dans $R$ de $cos x = \frac{3}{2}$ sont :
3.
Les solutions dans $R$ de $sin x = \frac{1}{2}$ sont :
4.
Les solutions dans $R$ de $tan x = 3$ sont :
5.
L'équation $cos u = cos v$ équivaut à :
6.
Les solutions dans $R$ de $sin (2 x) = sin x$ sont :
7.
Résoudre $(2 cos x - 1) sin x = 0$ revient à résoudre :
8.
Pour résoudre $2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ , on pose $X = sin x$ et on obtient :
9.
L'ensemble des solutions de $sin x \geq \frac{1}{2}$ sur $[0, 2 π]$ est :
10.
L'expression $3 cos x + sin x$ s'écrit sous la forme $R cos (x - φ)$ avec :

Encore 10 questions.

Équations et inéquations trigonométriques

Le cours

Équation cosx=a

Équation sinx=a

Équation tanx=a

Équations dérivées

cosu=cosv et sinu=sinv

Équations par factorisation

Inéquations trigonométriques

Linéarité auxiliaire acosx+bsinx

Exercices type contrôle corrigés

01Équations élémentaires

02Équation du type cos u = cos v

03Équation du type sin u = sin v

04Équation se ramenant au second degré

05Inéquations trigonométriques

06Équation a cos x + b sin x = c

Documents

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Équation $cos x = a$

Équation $sin x = a$

Équation $tan x = a$

$cos u = cos v$ et $sin u = sin v$

Linéarité auxiliaire $a cos x + b sin x$

Équations élémentaires

Équation du type cos u = cos v

Équation du type sin u = sin v

Équation se ramenant au second degré

Inéquations trigonométriques

Équation a cos x + b sin x = c