MATHEMATICS · Tronc Commun Scientifique · Tronc Commun

Géométrie dans l'espace

Positions relatives, parallélisme, orthogonalité, sections planes des solides usuels, vecteurs et repérage dans l'espace.

الهندسة الفضائية : الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات، التوازي، التعامد، المقاطع المستوية للمجسمات الاعتيادية، المتجهات والمعلم في الفضاء.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Points, droites et plans

L'espace géométrique est constitué de points. Trois points non alignés définissent un plan ; deux points distincts définissent une droite.

Propriété : Axiomes

Par deux points distincts passe une et une seule droite.
Par trois points non alignés passe un et un seul plan.
Si une droite a deux points en commun avec un plan, elle est entièrement contenue dans ce plan.
Si deux plans distincts ont un point commun, ils ont une droite commune (leur intersection).

Positions relatives

Deux droites

Deux droites $(D_{1})$ et $(D_{2})$ de l'espace sont :

coplanaires (dans un même plan) :
parallèles (sans point commun ou confondues), ou
sécantes (un seul point commun) ;
non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes deux ; elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

Une droite et un plan

Une droite $(D)$ et un plan $(P)$ sont dans l'une des trois situations :

$(D) \subset (P)$ (la droite est incluse dans le plan) ;
$(D)$ et $(P)$ parallèles (sans point commun) ;
$(D)$ et $(P)$ sécants en un seul point.

Deux plans

Deux plans $(P_{1})$ et $(P_{2})$ sont :

parallèles (confondus ou sans point commun) ;
sécants : leur intersection est une droite.

Théorèmes de parallélisme

Théorème : Théorème du toit

Si deux droites parallèles $(D_{1})$ et $(D_{2})$ sont contenues respectivement dans deux plans sécants $(P_{1})$ et $(P_{2})$ d'intersection $(Δ)$ , alors $(Δ)$ est parallèle à $(D_{1})$ (et donc à $(D_{2})$ ).

Théorème : Transitivité du parallélisme

Si $(D_{1}) ∥ (D_{2})$ et $(D_{2}) ∥ (D_{3})$ , alors $(D_{1}) ∥ (D_{3})$ .
Si $(P_{1}) ∥ (P_{2})$ et $(P_{2}) ∥ (P_{3})$ , alors $(P_{1}) ∥ (P_{3})$ .

Théorème

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Théorème

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à l'autre.

Orthogonalité

Droite orthogonale à un plan

Définition

Une droite $(D)$ est orthogonale au plan $(P)$ si elle est orthogonale à toute droite de $(P)$ .

Théorème : Critère pratique

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Propriété

Si une droite $(D)$ est orthogonale à un plan $(P)$ , alors toute droite parallèle à $(D)$ est aussi orthogonale à $(P)$ .
Si deux plans sont parallèles et qu'une droite est orthogonale à l'un, elle est orthogonale à l'autre.
Par un point, il passe une unique droite orthogonale à un plan donné, et un unique plan orthogonal à une droite donnée.

Solides usuels et leurs sections planes

Cube et parallélépipède rectangle

Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes ont la même longueur. Pour un cube d'arête $a$ : volume $V = a^{3}$ , aire totale $S = 6 a^{2}$ , diagonale principale $d = a 3$ .

Pyramide

Volume d'une pyramide de base d'aire $B$ et de hauteur $h$ :

V = (\frac{1}{3}) B h .

Cylindre, cône, sphère

Sections planes

Quand on coupe un solide par un plan, on obtient une section :

Cube ou parallélépipède : section rectangulaire (parallèle à une face) ou triangulaire / hexagonale selon l'inclinaison.
Cylindre coupé parallèlement à sa base : disque.
Cylindre coupé parallèlement à l'axe : rectangle.
Sphère coupée par un plan : disque (cercle de rayon $r^{'} = r^{2} - d^{2}$ où $d$ est la distance du centre au plan).

Exemple

Une sphère de rayon $5$ cm est coupée par un plan situé à $3$ cm du centre. Le rayon du disque obtenu est $25 - 9 = 4$ cm.

Vecteurs dans l'espace

Définition

Un vecteur de l'espace est défini par sa direction, son sens et sa norme — comme dans le plan. Les opérations (somme, multiplication par un scalaire) suivent les mêmes règles. La relation de Chasles reste vraie.

Vecteurs coplanaires

Définition

Trois vecteurs $u, v, w$ sont coplanaires s'ils peuvent être représentés par des bipoints contenus dans un même plan. Équivalemment, il existe deux réels $a, b$ tels que $w = a u + b v$ (si $u, v$ ne sont pas colinéaires).

Base et repère de l'espace

Définition

Une base de l'espace est un triplet $(i, j, k)$ de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur $u$ s'écrit de manière unique :

u = x i + y j + z k,

et $(x, y, z)$ sont les coordonnées de $u$ dans cette base.

Un repère de l'espace est un quadruplet $(O, i, j, k)$ . Tout point $M$ a alors des coordonnées $M (x; y; z)$ .

Distance dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, si $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2} .

Exemple

$A (1; 0; 2)$ et $B (3; 4; - 1)$ : $A B = 4 + 16 + 9 = 29$ .

Représentation paramétrique d'une droite

Théorème

Soit $(D)$ la droite passant par $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ de vecteur directeur $u (α; β; γ)$ . Alors $(D)$ a pour représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + α t y = y_{A} + β t z = z_{A} + γ t t \in R .

Documents

Lis le cours directement dans l'application, ou télécharge le PDF pour le consulter hors ligne.

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
Dans l'espace, un plan est entièrement déterminé par :
2.
Deux droites de l'espace qui n'ont aucun point commun sont :
3.
Deux droites parallèles $(D_{1})$ et $(D_{2})$ sont contenues dans deux plans sécants $(P_{1})$ et $(P_{2})$ d'intersection $(Δ)$ . D'après le théorème du toit :
4.
Pour montrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que :
5.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à :
6.
La grande diagonale d'un cube d'arête $2$ mesure :
7.
Une sphère de rayon $13$ cm est coupée par un plan situé à $5$ cm du centre. Le rayon du cercle obtenu est :
8.
Le volume d'un cône de rayon $3$ et de hauteur $4$ est :
9.
Dans un repère orthonormé de l'espace, $A (2; - 1; 3)$ et $B (4; 1; 0)$ . La distance $A B$ vaut :
10.
Soit la droite de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 - t z = 3 + 2 t$ , $t \in R$ . Lequel de ces points lui appartient ?

Encore 10 questions.