Le calcul vectoriel dans le plan

Soit $A$ et $B$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'objet géométrique caractérisé par :

• sa direction (la droite $(AB)$),
• son sens (de $A$ vers $B$),
• sa norme (la longueur $AB$).

Tous les vecteurs ayant les mêmes direction, sens et norme sont égaux : un vecteur n'est pas attaché à un point particulier.

Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan. Alors :

(autrement dit, $ABDC$ est un parallélogramme — éventuellement aplati).

Pour tous points $A$, $B$, $C$ du plan :

La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ se construit en plaçant les deux vecteurs à partir d'un même point ; le vecteur somme est la diagonale du parallélogramme obtenu.

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur et $k\in \mathbb{R}$. Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a :

• même direction que $\overrightarrow{u}$,
• même sens si $k>0$, sens opposé si $k<0$,
• norme $|k|\times ||\overrightarrow{u}||$. Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ et tous réels $k,k^{\prime }$ :

1. $k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.
2. $(k+k^{\prime })\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}+k^{\prime }\overrightarrow{u}$.
3. $k(k^{\prime }\overrightarrow{u})=(k{k}^{\prime })\overrightarrow{u}$.
4. $1\times \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s'il existe $k\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$, ou si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

1. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
2. Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si :

Soit $ABC$ un triangle. Le centre de gravité $G$ est le point d'intersection des trois médianes. Il est caractérisé par :

De manière équivalente, pour tout point $M$ du plan :

Une base du plan est un couple $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ de deux vecteurs non colinéaires.

Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ une base du plan. Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$, il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que :

Les nombres $x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On note $\overrightarrow{u}(x;y)$ ou $\overrightarrow{u}vec(x,y)$.

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$ a pour coordonnées $(2;-3)$.

Soient $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, et $k\in \mathbb{R}$.

1. $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(x+x^{\prime };y+y^{\prime })$.
2. $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$.
3. $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff x=x^{\prime }\text{ et }y=y^{\prime }$.

Soient $A(1;2)$ et $B(4;-1)$ dans un repère du plan. $\overrightarrow{AB}(3;-3)$.

Soient $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ dans une base du plan. Le déterminant de $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est :

Alors :

$\overrightarrow{u}(2;-3)$ et $\overrightarrow{v}(-4;6)$ : $2\times 6-(-4)\times (-3)=12-12=0$. Donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires ($\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}$).

Trois points $A(1;2)$, $B(3;5)$, $C(7;11)$ sont-ils alignés ? $\overrightarrow{AB}(2;3)$ et $\overrightarrow{AC}(6;9)$. Déterminant : $2\times 9-6\times 3=18-18=0$. Oui, alignés.