La droite dans le plan — géométrie analytique

Un repère du plan est un triplet $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ où $O$ est un point du plan (l'origine) et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est une base. Si $\overrightarrow{i}\perp \overrightarrow{j}$ et $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=1$, le repère est dit orthonormé.

Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$. Ce sont les coordonnées de $M$ : $M(x;y)$.

Dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. Alors :

$A(1;2)$, $B(4;6)$ : $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Un vecteur directeur d'une droite $(D)$ est tout vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ ayant la direction de $(D)$.

Toute droite $(D)$ du plan admet une équation cartésienne de la forme :

Réciproquement, l'ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant une telle équation est une droite. Le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.

La droite d'équation $2x-3y+6=0$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(3;2)$.

Une droite non verticale (c'est-à-dire non parallèle à l'axe des ordonnées) admet une équation réduite de la forme :

où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ est l'ordonnée à l'origine (l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) admet une équation de la forme $x=k$ avec $k\in \mathbb{R}$.

L'équation réduite de la droite passant par $A(1;3)$ et $B(4;9)$ : pente $m=\frac{9-3}{4-1}=2$. Comme $A\in (D)$ : $3=2\times 1+p$, donc $p=1$. Équation : $y=2x+1$.

Soit $(D)$ une droite passant par $A(x_A;y_A)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(\alpha ;\beta )$. Un point $M(x;y)$ appartient à $(D)$ si et seulement s'il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que :

Ce système est appelé une représentation paramétrique de $(D)$.

Représentation paramétrique de la droite passant par $A(2;1)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(3;-2)$ : $\{\begin{array}{l}x=2+3ty=1-2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Deux droites de pentes respectives $m$ et $m^{\prime }$ sont parallèles si et seulement si $m=m^{\prime }$ (deux droites verticales sont aussi parallèles).

Deux droites non verticales de pentes $m$ et $m^{\prime }$ sont perpendiculaires si et seulement si $m\times m^{\prime }=-1$.

Les droites $y=2x+1$ et $y=-(\frac{1}{2})x+3$ sont perpendiculaires.

Trouver l'intersection de $(D_1):y=2x-1$ et $(D_2):y=-x+5$. $2x-1=-x+5\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$, puis $y=3$. Donc le point d'intersection est $(2;3)$.

Soit $(D):ax+by+c=0$ avec $(a,b)\ne (0,0)$, et $M(x_0;y_0)$. Alors :

Distance du point $A(1;2)$ à la droite $(D):3x-4y+5=0$ : $d(A,(D))=|3-8+5|/\sqrt{9+16}=\frac{0}{5}=0$. Donc $A\in (D)$. Vérification : $3(1)-4(2)+5=0$. ✓