Statistiques

• Une population est l'ensemble étudié.
• Un élément de la population est un individu.
• On étudie un caractère (ou variable) commun aux individus. Il peut être :
• qualitatif (couleur, sexe, sport pratiqué) ;
• quantitatif : valeurs numériques. Discret (nombre d'enfants par famille, note) ou continu (taille, poids).
• L'effectif $n_i$ d'une valeur $x_i$ est le nombre d'individus correspondant.
• L'effectif total est $N={\sum }_i{n}_i$.
• La fréquence de la valeur $x_i$ est $f_i=\frac{n_i}{N}$, souvent exprimée en pourcentage.

Note d'une classe de 25 élèves :

Effectif total $N=25$. Effectif de la note $12$ : $n_{12}=6$. Fréquence : $f_{12}=\frac{6}{25}=0.24=24\%$ (soit $0,24$).

Le mode est la (ou les) valeur(s) du caractère ayant l'effectif le plus élevé. Pour des données regroupées, on parle de classe modale.

La médiane $\text{ Me }$ est la valeur qui partage la série rangée en deux parties d'effectif égal :

• Si $N$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$.
• Si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.

Série : $5,8,10,12,14$ ($N=5$). Médiane = $10$ (3ᵉ valeur).

Série : $5,8,10,12,14,18$ ($N=6$). Médiane $=\frac{10+12}{2}=11$.

La moyenne d'une série $(x_1,x_2,\dots ,x_p)$ d'effectifs $(n_1,\dots ,n_p)$ est :

Pour des classes, on utilise les centres de classe.

Si $x_i\in 8,12,16$ avec effectifs $(2,5,3)$ et $N=10$ : $\overline{x}=\frac{2\times 8+5\times 12+3\times 16}{10}=\frac{16+60+48}{10}=12.4$ (soit $12,4$).

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observée.

La variance de la série est :

L'écart-type est $\sigma =\sqrt{V}$.

L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne, dans la même unité que les données.

Cette formule est souvent plus pratique pour le calcul.

Pour la série $x_i\in 8,12,16$ d'effectifs $(2,5,3)$ et $\overline{x}=12.4$ : $\sum n_i{x}_i^2=2\times 64+5\times 144+3\times 256=128+720+768=1616$. $V=\frac{1616}{10}-12.4^2=161.6-153.76=7.84$. $\sigma =\sqrt{7.84}\approx 2.8$.

L'écart absolu moyen est :

Le 1er quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\%$ des observations sont $\le Q_1$. Le 3ᵉ quartile $Q_3$ est défini de manière analogue avec $75\%$. L'écart interquartile est $Q_3-Q_1$.

Deux séries $A$ et $B$ ont la même moyenne $10$, mais ${\sigma }_A=1$ et ${\sigma }_B=5$. La série $B$ est beaucoup plus dispersée — par exemple, $A:9,10,11$ et $B:5,10,15$.