MATHEMATICS · Tronc Commun Scientifique · Tronc Commun

L'ordre dans ℝ

Compatibilité de l'ordre, intervalles, encadrements, valeurs approchées.

الترتيب في ℝ : الترتيب في ℝ وتوافقه مع الجمع والضرب، المجالات، التأطير والقيم المقربة.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Relation d'ordre dans $R$

L'ensemble $R$ est muni d'une relation d'ordre $\leq$ qui prolonge celle connue sur $Q$ . Comprendre comment elle interagit avec les opérations est essentiel pour résoudre des inéquations et donner des encadrements.

Définition : Comparaison

Soient $a, b \in R$ . On écrit :

$a \leq b$ si $b - a \in R_{+}$ (c'est-à-dire $b - a \geq 0$ ).
$a < b$ si $b - a > 0$ . La relation $\leq$ est totale : pour tous $a, b \in R$ , on a $a \leq b$ ou $b \leq a$ (et les deux si et seulement si $a = b$ ).

Compatibilité avec les opérations

Théorème : Compatibilité avec l'addition

Soient $a, b, c \in R$ . Alors $a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c$ . Par conséquent, $a \leq b$ et $c \leq d$ entraînent $a + c \leq b + d$ .

Démonstration

$a \leq b$ équivaut à $b - a \geq 0$ , ce qui équivaut à $(b + c) - (a + c) \geq 0$ , c'est-à-dire $a + c \leq b + c$ .

Théorème : Compatibilité avec la multiplication

Soient $a, b \in R$ et $k \in R$ .

Si $k > 0$ et $a \leq b$ , alors $k a \leq k b$ .
Si $k < 0$ et $a \leq b$ , alors $k a \geq k b$ (le sens change).

Exemple

$- 3 \leq 2$ . En multipliant par $- 4 < 0$ : $12 \geq - 8$ , ce qui est correct.

Propriété : Sens et opposés

Pour tous $a, b \in R$ :

a \leq b \Leftrightarrow - b \leq - a .

Pour tous $a, b > 0$ ayant le même signe :

a \leq b \Leftrightarrow \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a} .

Exemple

Sur $R_{+}^{*}$ , $2 < 5$ donne $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$ . La fonction inverse renverse l'ordre sur les réels strictement positifs.

Ordre et carré, ordre et racine carrée

Théorème : Carré et ordre

Sur $R_{+}$ , la fonction $x \mapsto x^{2}$ est croissante : $0 \leq a \leq b \Rightarrow a^{2} \leq b^{2}$ .
Sur $R_{-}$ , la fonction $x \mapsto x^{2}$ est décroissante : $a \leq b \leq 0 \Rightarrow a^{2} \geq b^{2}$ .

Démonstration

Pour le premier point : $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ . Comme $0 \leq a \leq b$ , $b - a \geq 0$ et $b + a \geq 0$ , donc le produit est positif.

Théorème : Racine carrée et ordre

Sur $R_{+}$ , la fonction $x \mapsto x$ est croissante : $0 \leq a \leq b \Rightarrow a \leq b$ .

Exemple

Comparer $A = 7 + 11$ et $B = 8 + 10$ . Élevons au carré (les deux quantités sont positives) : $A^{2} = 7 + 11 + 277 = 18 + 277$ et $B^{2} = 18 + 280$ . Comme $77 < 80$ , $77 < 80$ donc $A < B$ .

Intervalles de $R$

Définition : Les neuf types d'intervalles

Soient $a, b \in R$ avec $a \leq b$ .

$[a, b] = x \in R ∣ a \leq x \leq b$ — fermé borné.
$] a, b [= x \in R ∣ a < x < b$ — ouvert borné.
$[a, b [$ et $] a, b]$ — semi-ouverts.
$[a, + \infty [= x \in R ∣ x \geq a$ et $] a, + \infty [$ .
$] - \infty, b] = x \in R ∣ x \leq b$ et $] - \infty, b [$ .
$] - \infty, + \infty [= R$ .

Intersection et réunion d'intervalles

Exemple

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$ .
$[1, 5] \cup [3, 7] = [1, 7]$ .
$] - \infty, 2 [\cap [0, + \infty [= [0, 2 [$ .
$[1, 3] \cup [5, 7]$ n'est pas un intervalle.

Bornes d'une partie de $R$

Définition : Majorant et minorant

Soit $A \subseteq R$ une partie non vide.

Un réel $M$ est un majorant de $A$ si pour tout $x \in A$ , $x \leq M$ . On dit alors que $A$ est majorée.
Un réel $m$ est un minorant de $A$ si pour tout $x \in A$ , $m \leq x$ . On dit alors que $A$ est minorée.
$A$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Exemple

$A = [- 2, 3 [$ est bornée. $3$ est un majorant ; $- 2$ est un minorant.
$B =] - \infty, 5]$ est majorée par $5$ mais non minorée.
$C = N$ est minorée par $0$ mais non majorée.

Encadrement et valeurs approchées

Encadrement d'un réel

Définition : Encadrement

Soit $x \in R$ . Encadrer $x$ , c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$ . L'amplitude de cet encadrement est $b - a$ .

Exemple

$1, 4 \leq 2 \leq 1, 5$ est un encadrement d'amplitude $0, 1$ . $1, 41 \leq 2 \leq 1, 42$ est un encadrement plus fin, d'amplitude $0, 01$ .

Valeurs approchées et arrondi

Définition : Valeur approchée à

1 0^{- n}

près

Soit $x \in R$ et $n \in N$ . Une valeur approchée par défaut de $x$ à $1 0^{- n}$ près est un décimal $a$ tel que :

a \leq x \leq a + 1 0^{- n} .

Une valeur approchée par excès est $a + 1 0^{- n}$ . La valeur arrondie est celle des deux qui est la plus proche de $x$ .

Exemple

Pour $x = π \approx 3, 141592 \dots$ et $n = 3$ :

valeur approchée par défaut à $1 0^{- 3}$ près : $3, 141$ ;
valeur approchée par excès à $1 0^{- 3}$ près : $3, 142$ ;
valeur arrondie à $1 0^{- 3}$ près : $3, 142$ (plus proche).

Encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient

Théorème : Encadrement d'une somme et d'une différence

Soient $x, y \in R$ avec $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ . Alors :

$a + c \leq x + y \leq b + d$ (somme).
$a - d \leq x - y \leq b - c$ (différence : on retourne le second encadrement avant d'ajouter).

Théorème : Encadrement d'un produit (positifs)

Si $0 \leq a \leq x \leq b$ et $0 \leq c \leq y \leq d$ , alors :

a c \leq x y \leq b d .

Exemple

Si $1, 4 \leq 2 \leq 1, 5$ et $1, 7 \leq 3 \leq 1, 8$ , alors : $1, 4 \times 1, 7 \leq 23 \leq 1, 5 \times 1, 8$ , soit $2, 38 \leq 6 \leq 2, 7$ .

Théorème : Encadrement de

a

Si $a, b > 0$ et $a \leq x \leq b$ , alors $a \leq x \leq b$ .

Erreur absolue, erreur relative

Définition : Erreurs

Soit $x$ la valeur exacte et $a$ une valeur approchée de $x$ .

L'erreur absolue est $∣ x - a ∣$ .
L'erreur relative est $∣ x - a ∣/∣ x ∣$ (si $x \neq = 0$ ), souvent exprimée en pourcentage.

Exemple

On prend $a = 3, 14$ comme valeur approchée de $π \approx 3, 14159$ .

Erreur absolue : $\approx 0, 00159$ .
Erreur relative : $\approx 0, \frac{00159}{3}, 14159 \approx 0, 000506$ , soit environ $0, 05%$ .

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Comparer sans calculatrice
Comparer les nombres suivants en justifiant :
1. $23$ et $32$ ;
2. $\frac{3}{7}$ et $\frac{4}{9}$ ;
3. $x^{2}$ et $x$ lorsque $0 < x < 1$ .
Voir la correction
1. Les deux nombres sont positifs ; on compare leurs carrés : $(23)^{2} = 12$ et $(32)^{2} = 18$ . Comme $12 < 18$ , on a $23 < 32$ .
2. $\frac{3}{7} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 28}{63} = - \frac{1}{63} < 0$ , donc $\frac{3}{7} < \frac{4}{9}$ .
3. $x^{2} - x = x (x - 1)$ . Pour $0 < x < 1$ : $x > 0$ et $x - 1 < 0$ , donc $x^{2} - x < 0$ , c'est-à-dire $x^{2} < x$ .
Encadrements de sommes, produits et inverses
On sait que $2 \leq x \leq 3$ et $- 1 \leq y \leq 1$ . Encadrer :
1. $x + y$ et $x - y$ ;
2. $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ ;
3. $x y$ .
Voir la correction
1. En ajoutant membre à membre : $1 \leq x + y \leq 4$ . De $- 1 \leq y \leq 1$ on tire $- 1 \leq - y \leq 1$ , puis $1 \leq x - y \leq 4$ .
2. La fonction carré est croissante sur $[0, + \infty [$ et $x \geq 2 > 0$ , donc $4 \leq x^{2} \leq 9$ . La fonction inverse est décroissante sur $] 0, + \infty [$ , donc $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$ .
3. Attention : $y$ peut être négatif, on ne multiplie pas directement les encadrements. Comme $x > 0$ , $x y$ est du signe de $y$ et $∣ x y ∣ = x ∣ y ∣ \leq 3 \times 1 = 3$ . Donc $- 3 \leq x y \leq 3$ (bornes atteintes pour $x = 3$ , $y = \pm 1$ ).
Inégalités classiques
1. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ : $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ .
2. En déduire que pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ : $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ .
3. Montrer que pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ : $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .
Voir la correction
1. $a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ , d'où $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ .
2. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}$ . Comme $ab > 0$ et $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ , on obtient $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} \geq \frac{2 ab}{ab} = 2$ .
3. En développant : $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \geq 2 + 2 = 4$ d'après la question 2.
Encadrer une expression
Soit $x$ un réel tel que $1 \leq x \leq 2$ .
1. Encadrer $\frac{1}{x}$ .
2. En déduire un encadrement de $A = \frac{2 x + 1}{x}$ .
3. Montrer que $2 \leq x + \frac{1}{x} \leq 3$ .
Voir la correction
1. La fonction inverse est décroissante sur $] 0, + \infty [$ : $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{x} \leq 1$ .
2. $A = \frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$ , donc $2 + \frac{1}{2} \leq A \leq 2 + 1$ , soit $\frac{5}{2} \leq A \leq 3$ .
3. Minoration : $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} \geq 0$ , donc $x + \frac{1}{x} \geq 2$ . Majoration : $x \leq 2$ et $\frac{1}{x} \leq 1$ , donc $x + \frac{1}{x} \leq 3$ .
Valeurs approchées
On donne $1, 414 \leq 2 \leq 1, 415$ et $1, 732 \leq 3 \leq 1, 733$ .
1. Encadrer $2 + 3$ et $3 - 2$ .
2. Encadrer $6$ et en donner une valeur approchée à $1 0^{- 2}$ près.
Voir la correction
1. Somme : $3, 146 \leq 2 + 3 \leq 3, 148$ . Différence : de $- 1, 415 \leq - 2 \leq - 1, 414$ on tire $1, 732 - 1, 415 \leq 3 - 2 \leq 1, 733 - 1, 414$ , soit $0, 317 \leq 3 - 2 \leq 0, 319$ .
2. $6 = 2 \times 3$ et tous les termes sont positifs : $1, 414 \times 1, 732 \leq 6 \leq 1, 415 \times 1, 733$ , soit $2, 449 \leq 6 \leq 2, 453$ (en arrondissant les bornes vers l'extérieur). L'amplitude de l'encadrement est $0, 004 < 1 0^{- 2}$ ; on peut donc prendre $6 \approx 2, 45$ à $1 0^{- 2}$ près (en effet $∣ 6 - 2, 45∣ \leq 0, 003 < 0, 01$ ).
Erreur absolue et erreur relative
1. Une longueur est mesurée : $L = 12, 5$ cm avec une erreur absolue inférieure ou égale à $0, 1$ cm. Encadrer $L$ et majorer l'erreur relative.
2. On remplace $π$ par $3, 14$ . Sachant que $3, 1415 < π < 3, 1416$ , majorer l'erreur absolue puis l'erreur relative commises.
Voir la correction
1. $12, 4 \leq L \leq 12, 6$ . L'erreur relative est majorée par $\frac{0 , 1}{12 , 5} = 0, 008$ , soit $0, 8%$ .
2. Erreur absolue : $∣ π - 3, 14∣ < 3, 1416 - 3, 14 = 0, 0016$ . Erreur relative : $∣ π - 3, 14∣/ π < \frac{0 , 0016}{3 , 14} \approx 5, 1 \times 1 0^{- 4}$ , soit environ $0, 05%$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
Par définition, pour deux réels $a$ et $b$ , écrire $a \leq b$ signifie que :
2.
Si $a < b$ , alors on peut affirmer que :
3.
Si $0 < a < b$ , alors :
4.
Si $a < b < 0$ , alors :
5.
$[1, 5] \cap] 3, 7]$ est égal à :
6.
L'intervalle $] - \infty, 5]$ est :
7.
L'encadrement $1, 41 \leq 2 \leq 1, 42$ a pour amplitude :
8.
La valeur approchée par excès de $π \approx 3, 14159$ à $1 0^{- 2}$ près est :
9.
Si $1 \leq x \leq 2$ et $3 \leq y \leq 5$ , alors un encadrement de $x - y$ est :
10.
On remplace la valeur exacte $x = 50$ par la valeur approchée $a = 49$ . L'erreur relative vaut :

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Ordre et carré, ordre et racine carrée

Intervalles de R

Intersection et réunion d'intervalles

Bornes d'une partie de R

Encadrement et valeurs approchées

Encadrement d'un réel

Valeurs approchées et arrondi

Encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient

Erreur absolue, erreur relative

Exercices type contrôle corrigés

01Comparer sans calculatrice

02Encadrements de sommes, produits et inverses

03Inégalités classiques

04Encadrer une expression

05Valeurs approchées

06Erreur absolue et erreur relative

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Relation d'ordre dans $R$

Intervalles de $R$

Bornes d'une partie de $R$

Comparer sans calculatrice

Encadrements de sommes, produits et inverses

Inégalités classiques

Encadrer une expression

Valeurs approchées

Erreur absolue et erreur relative