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Les polynômes

Degré, opérations, racines, factorisations remarquables, trinôme du second degré et discriminant.

الحدوديات : درجة الحدودية، العمليات على الحدوديات، الجذور، التعميلات الاعتيادية، ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية والمميز.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition et vocabulaire

Définition : Polynôme à une variable

Un polynôme à coefficients réels en la variable $x$ est une expression de la forme :

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},

où $n \in N$ et $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in R$ .

Si $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est appelé le degré de $P$ , noté $d e g P$ .
$a_{n}$ est le coefficient dominant, $a_{0}$ est le terme constant.
Si tous les coefficients sont nuls, on parle du polynôme nul $0$ , de degré conventionnellement $- \infty$ .

Exemple

$P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ est un polynôme de degré $3$ ; coefficient dominant $2$ , terme constant $1$ .
$Q (x) = 7$ est un polynôme constant non nul, de degré $0$ .
$R (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)$ est de degré $3$ .

Propriété : Égalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux. En particulier, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Opérations sur les polynômes

Propriété : Somme, produit, degré

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls.

$d e g (P + Q) \leq max (d e g P, d e g Q)$ (avec égalité si les coefficients dominants ne se compensent pas).
$d e g (P \times Q) = d e g P + d e g Q$ .

Exemple

Soit $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ et $Q (x) = 2 x + 1$ .

$P + Q = x^{2} - 3 x + 2 + 2 x + 1 = x^{2} - x + 3$ (degré $2$ ).
$P \times Q = (x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 1) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x^{2} - 3 x + 4 x + 2 = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2$ (degré $3$ ).

Division euclidienne des polynômes

Théorème : Division euclidienne dans

R [x]

Soient $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients réels, $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que :

A = B Q + R et d e g R < d e g B .

$Q$ s'appelle le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ .

Exemple

Effectuer la division euclidienne de $A (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ par $B (x) = x^{2} + x - 1$ .

On pose la division :

$2 x^{3} d i v x^{2} = 2 x$ ; on multiplie $B$ par $2 x$ et on soustrait $2 x \times B = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$ . Reste partiel : $3 x^{2} + x - 6$ .
$3 x^{2} d i v x^{2} = 3$ ; on multiplie $B$ par $3$ et on soustrait $3 B = 3 x^{2} + 3 x - 3$ . Reste : $- 2 x - 3$ .

Donc $Q (x) = 2 x + 3$ et $R (x) = - 2 x - 3$ , soit $A = (x^{2} + x - 1) (2 x + 3) + (- 2 x - 3)$ .

Racines et factorisation

Définition : Racine d'un polynôme

Un réel $α$ est une racine (ou zéro) du polynôme $P$ si $P (α) = 0$ .

Théorème : Théorème de la factorisation

Soit $P$ un polynôme et $α \in R$ . Alors :

α est racine de P \Leftrightarrow P (x) est divisible par (x - α) .

Autrement dit, on peut écrire $P (x) = (x - α) Q (x)$ avec $Q$ polynôme de degré $d e g P - 1$ .

Démonstration

La division euclidienne de $P$ par $(x - α)$ s'écrit : $P (x) = (x - α) Q (x) + R (x)$ avec $d e g R < 1$ , donc $R$ est un polynôme constant : $R (x) = r \in R$ . En évaluant en $α$ : $P (α) = 0 \times Q (α) + r = r$ . Donc $r = 0$ équivaut à $P (α) = 0$ .

Exemple

Le polynôme $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ admet $- 1$ comme racine (vérification : $(- 1)^{3} - 4 - 1 + 6 = 0$ ). On peut donc le factoriser : par division par $(x + 1)$ , on obtient $P (x) = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$ , puis $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . Finalement $P (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)$ .

Identités remarquables

Théorème : Identités remarquables — degrés 2 et 3

Pour tous $a, b \in R$ :

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ et $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .

Exemple

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
$x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .
$4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$ .

Le trinôme du second degré

Définition

Un trinôme du second degré est un polynôme de degré $2$ :

P (x) = a x^{2} + b x + c, a \in R^{*} .

Forme canonique

Théorème : Forme canonique

Tout trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ s'écrit de manière unique sous la forme :

P (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a},

où $Δ = b^{2} - 4 a c$ s'appelle le discriminant de $P$ .

Démonstration

$a x^{2} + b x + c = a [x^{2} + \frac{b}{a} x] + c = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}] + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a} + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$ .

Discussion selon le signe du discriminant

Théorème : Racines et factorisation

Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ : $P$ admet deux racines réelles distinctes

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a},

et $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Si $Δ = 0$ : $P$ admet une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , et $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : $P$ n'a aucune racine réelle et n'est pas factorisable dans $R$ .

Exemple

Étudier $P (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ . $Δ = 25 + 24 = 49 > 0$ . Racines : $x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$ et $x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ . Donc $P (x) = 2 (x + \frac{1}{2}) (x - 3) = (2 x + 1) (x - 3)$ .

Exemple

Étudier $P (x) = x^{2} - 6 x + 9$ . $Δ = 36 - 36 = 0$ . Racine double : $x_{0} = 3$ . Donc $P (x) = (x - 3)^{2}$ .

Signe d'un trinôme

Propriété : Règle du signe

Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ .

Si $Δ > 0$ : $P (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et de signe contraire entre les racines.
Si $Δ = 0$ : $P (x)$ est du signe de $a$ partout, sauf en la racine double où il s'annule.
Si $Δ < 0$ : $P (x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in R$ .

Exemple

Signe de $f (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ : $a = - 1$ , $Δ = 16 - 12 = 4 > 0$ , racines $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$ . Comme $a = - 1 < 0$ , $f$ est :

négatif sur $] - \infty, 1 [$ et sur $] 3, + \infty [$ ;
positif sur $] 1, 3 [$ ;
nul en $1$ et $3$ .

Sommes et produit des racines

Théorème : Relations entre coefficients et racines

Si $P (x) = a x^{2} + b x + c$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (éventuellement égales), alors :

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a} .

Démonstration

En développant $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a [x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}]$ , on identifie avec $a x^{2} + b x + c$ .

Exemple

Sans calculer le discriminant, deux nombres dont la somme vaut $5$ et le produit $6$ sont les racines de $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , soit $2$ et $3$ .

Documents

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0/10 répondues

1.
Le polynôme $P (x) = - 3 x^{4} + 2 x^{2} - x + 7$ a pour degré et coefficient dominant :
2.
Dans la division euclidienne $A = B Q + R$ de deux polynômes, le reste $R$ vérifie :
3.
Parmi les réels suivants, lequel est une racine de $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ ?
4.
Si $P (3) = 0$ , alors $P (x)$ est divisible par :
5.
$x^{3} - 8$ se factorise en :
6.
La forme canonique de $x^{2} + 4 x + 1$ est :
7.
Le discriminant du trinôme $3 x^{2} + 2 x - 1$ vaut :
8.
La factorisation de $3 x^{2} + 2 x - 1$ est :
9.
Le trinôme $x^{2} - 5 x + 6$ est strictement négatif sur :
10.
Le trinôme $2 x^{2} - 6 x + 1$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ . Leur somme et leur produit valent :

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