Équations, inéquations et systèmes

Une équation dans $\mathbb{R}$ est une égalité contenant au moins une inconnue. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble des valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Cet ensemble s'appelle ensemble des solutions, souvent noté $S$.

L'équation $ax+b=0$ avec $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b\in \mathbb{R}$ admet une unique solution $x=-\frac{b}{a}$.

$3x-5=7\iff 3x=12\iff x=4$. Donc $S=4$.

Soit l'équation $a{x}^2+bx+c=0$ avec $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ et $\Delta =b^2-4ac$.

1. Si $\Delta >0$ : deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.
2. Si $\Delta =0$ : une solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$.
3. Si $\Delta <0$ : aucune solution réelle, $S=nothing$.

Résoudre $x^2-6x+5=0$. $\Delta =36-20=16>0$. $x_1=\frac{6-4}{2}=1$, $x_2=\frac{6+4}{2}=5$. Donc $S=1,5$.

Soient $a\in \mathbb{R}$ et $r\in {\mathbb{R}}_{+}$. L'équation $|x-a|=r$ équivaut à $x=a+r$ ou $x=a-r$. Plus généralement, $|A(x)|=|B(x)|\iff A(x)=B(x)\text{ ou }A(x)=-B(x).$

Résoudre $|2x-3|=5$. $2x-3=5$ donne $x=4$ ; $2x-3=-5$ donne $x=-1$. Donc $S=-1,4$.

Résoudre $|x+1|=|2x-3|$. Cela équivaut à $x+1=2x-3$ ou $x+1=-(2x-3)=-2x+3$. Premier cas : $x=4$. Second cas : $3x=2$ donc $x=\frac{2}{3}$. Donc $S=\frac{2}{3},4$.

Pour résoudre $\sqrt{A(x)}=B(x)$ :

1. Conditions d'existence : $A(x)\ge 0$.
2. Condition de positivité du second membre : $B(x)\ge 0$ (sinon pas de solution).
3. Élever au carré : $A(x)=B(x{)}^2$.
4. Vérifier les solutions trouvées dans l'équation initiale.

Résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$.

• Existence : $x\ge -1$. Positivité : $x\ge 1$.
• Élevons au carré : $x+1=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, soit $x^2-3x=0$, soit $x(x-3)=0$. Solutions candidates : $0$ et $3$.
• Vérification : $x=0$ ne respecte pas $x\ge 1$ ; $x=3$ : $\sqrt{4}=2$ et $3-1=2$. ✓ Donc $S=3$.

$ax+b\le 0$ équivaut à $x\le -\frac{b}{a}$ si $a>0$, et à $x\ge -\frac{b}{a}$ si $a<0$.

Résoudre $x^2-x-6<0$. Le trinôme a pour racines $x_1=-2$ et $x_2=3$ (somme $1$, produit $-6$). Comme le coefficient de $x^2$ est positif, $x^2-x-6<0$ entre les racines. Donc $S=]-2,3[$.

Résoudre $(x-1)(2x+4)\ge 0$. Tableau de signes (les zéros sont $x=1$ et $x=-2$) :

Donc $S=]-\infty ,-2]\cup [1,+\infty [$.

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x,y$ est :

où $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\in \mathbb{R}$.

Exprimer une inconnue en fonction de l'autre depuis une équation, puis remplacer dans la seconde.

Multiplier les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer l'une des inconnues par addition.

Soit $D=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b$ le déterminant du système.

• Si $D\ne 0$, le système admet une unique solution :

• Si $D=0$ et le système n'est pas proportionnel : aucune solution.
• Si $D=0$ et le système est proportionnel : une infinité de solutions.

Résoudre $\{\begin{array}{l}2x+3y=8x-y=1\end{array}$. Méthode par substitution : $x=y+1$. Substitution dans la première : $2(y+1)+3y=8$, soit $5y=6$, donc $y=\frac{6}{5}$ et $x=\frac{11}{5}$. $S=(\frac{11}{5},\frac{6}{5})$.

Résoudre :

• $L_2<-L_2-2L_1$ : $-3y-z=-9$, soit $3y+z=9$.
• $L_3<-L_3-L_1$ : $y-2z=-4$.
• Le système devient $\{\begin{array}{l}x+y+z=63y+z=9y-2z=-4\end{array}$.
• $L_3<-3L_3-L_2$ : $-7z=-21$, soit $z=3$.
• Puis $3y+3=9$ donne $y=2$, et $x+2+3=6$ donne $x=1$.

$S=(1,2,3)$.

Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de $\{\begin{array}{l}x+y\le 4x\ge 0y\ge 0\end{array}$. C'est le triangle de sommets $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,4)$ — frontières comprises.