Limites et continuité

Soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$) et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $a$, noté ${\lim }_{x\to a}f(x)=\ell$, si $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ :

• ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$ : $f(x)$ dépasse tout réel $A$ dès que $x$ est assez proche de $a$ ($\forall A>0,\exists \eta >0,0<|x-a|<\eta \Rightarrow f(x)>A$).
• ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\ell$ : $\forall \epsilon >0,\exists B>0,x>B\Rightarrow |f(x)-\ell |<\epsilon$.
• Les autres cas ($-\infty$, $x\to -\infty$) se définissent de même.

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$ (resp. ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$) est la limite de $f$ en $a$ en ne considérant que $x<a$ (resp. $x>a$). $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

$f(x)=\frac{1}{x}$ : ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ ; $f$ n'a pas de limite en $0$. En revanche ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe de $f$.

• Si ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$ : la droite $x=a$ est une asymptote verticale.
• Si ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\ell$ : la droite $y=\ell$ est une asymptote horizontale en $\pm \infty$.
• Si ${\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-(ax+b))=0$ : la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique en $\pm \infty$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

• ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^n=+\infty$ ; ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^n=+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair ;
• ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x^n}=0$ ; ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^n}=+\infty$ ;
• ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{x}=+\infty$ ; ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$.

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}={\lim }_{x\to 0}3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}=3\times 1=3$ (on pose $u=3x\to 0$).

En $\pm \infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

${\lim }_{x\to -\infty }(2x^3-x+5)={\lim }_{x\to -\infty }2x^3=-\infty$ ; ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2+1}{x^2-x}=\lim \frac{3x^2}{x^2}=3$ ; ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{x^2+2}=\lim \frac{x}{x^2}=\lim \frac{1}{x}=0$.

1. Factoriser par le terme dominant (polynômes, fractions rationnelles).
2. Multiplier par la quantité conjuguée (expressions avec racines).
3. Simplifier un quotient (forme $\frac{0}{0}$ en un point : factoriser numérateur et dénominateur par $(x-a)$).
4. Se ramener à une limite usuelle par changement de variable.
5. Encadrer (théorèmes de comparaison, section suivante).

(Conjuguée) ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+x}-x)$ est une forme $\infty -\infty$. $\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to \frac{1}{2}$.

(Forme $\frac{0}{0}$ en un point) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$. Numérateur et dénominateur s'annulent en $1$ : $(x-1)\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}\to -\frac{1}{2}$.

(Racine en $-\infty$) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. Pour $x<0$, $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$, donc le quotient vaut $-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\to -1$. Attention au signe : $\sqrt{x^2}=|x|$.

Si, au voisinage de $a$ (fini ou infini), $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et si ${\lim }_{x\to a}g(x)={\lim }_{x\to a}h(x)=\ell$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=\ell$.

Au voisinage de $a$ :

• si $f(x)\ge g(x)$ et ${\lim }_{x\to a}g(x)=+\infty$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$ ;
• si $f(x)\le h(x)$ et ${\lim }_{x\to a}h(x)=-\infty$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=-\infty$.

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sin x}{x}$ : pour $x>0$, $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$ et les deux bornes tendent vers $0$, donc la limite vaut $0$. De même ${\lim }_{x\to +\infty }(x+\cos x)=+\infty$ car $x+\cos x\ge x-1\to +\infty$.

${\lim }_{x\to 0}x\sin (\frac{1}{x})$ : $|x\sin (\frac{1}{x})|\le |x|\to 0$, donc la limite est $0$ (bien que $\sin (\frac{1}{x})$ n'ait pas de limite en $0$).

Si ${\lim }_{x\to a}u(x)=b$ et ${\lim }_{y\to b}f(y)=\ell$ (avec $a$, $b$, $\ell$ finis ou infinis), alors ${\lim }_{x\to a}f(u(x))=\ell$.

${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{\frac{2x+1}{x-3}}$ : $u(x)=\frac{2x+1}{x-3}\to 2$ et $\sqrt{y}\to \sqrt{2}$ quand $y\to 2$, donc la limite vaut $\sqrt{2}$. De même ${\lim }_{x\to +\infty }\cos (\frac{1}{x})=\cos 0=1$ et ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x^2)}{x^2}=1$ (poser $u=x^2\to 0$).

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$. $f$ est continue en $a$ si ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$. Elle est continue à droite (resp. à gauche) en $a$ si ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ (resp. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$). $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

La fonction partie entière $x\to \lfloor x\rfloor$ n'est pas continue en $1$ : ${\lim }_{x\to 1^{-}}\lfloor x\rfloor =0$ alors que $\lfloor 1\rfloor =1$. Elle est continue à droite en $1$ mais pas à gauche.

• Les fonctions polynomiales, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, $\sin$, $\cos$ sont continues sur leur ensemble de définition (ainsi que $\ln$ et $\exp$, étudiées plus loin).
• Somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composée de fonctions continues sont continues.

Soit $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ si $x\ne 1$ et $f(1)=k$. Sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f$ est rationnelle donc continue. En $1$ : $f(x)=x+1\to 2$, donc $f$ est continue en $1$ si et seulement si $k=2$.

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$, la fonction $\tilde{f}$ égale à $f$ hors de $a$ et telle que $\tilde{f}(a)=\ell$ est continue en $a$ : c'est le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ n'est pas définie en $0$ mais ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$ : on la prolonge par $\tilde{f}(0)=1$.

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue est un segment $[m,M]$ : $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires ($f(a)\times f(b)<0$), l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, cette solution est unique.

Montrons que $x^3+x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ et encadrons-la. $f(x)=x^3+x-1$ est continue et strictement croissante ($f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$) ; $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$ : il existe un unique $\alpha \in ]0,1[$. Par dichotomie : $f(0,5)=-0,375<0$, $f(0,75)\approx 0,17>0$, donc $\alpha \in ]0,5;0,75[$ ; $f(0,6)=-0,184<0$ et $f(0,7)=0,043>0$ : $0,6<\alpha <0,7$.

1. Ramener l'équation à la forme $f(x)=0$ (ou $f(x)=k$).
2. Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle considéré.
3. Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier le changement de signe.
4. Pour l'unicité : établir la stricte monotonie (signe de $f^{\prime }$).
5. Pour un encadrement : dichotomie ou tableau de valeurs.

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$ : tout $y\in J$ a un unique antécédent $x\in I$. La fonction qui à $y$ associe cet antécédent est la fonction réciproque $f^{-1}:J\to I$, et

• $f^{-1}$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de variation que $f$.
• Pour tout $x\in I$, $f^{-1}(f(x))=x$ ; pour tout $y\in J$, $f(f^{-1}(y))=y$.
• Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

$f(x)=x^2$ est continue et strictement croissante sur $I=[0,+\infty [$, et $f(I)=[0,+\infty [$. Sa réciproque est $x\to \sqrt{x}$ : pour $x,y\ge 0$, $y=x^2\iff x=\sqrt{y}$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. La fonction $x\to x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty [$, d'image $[0,+\infty [$. Sa réciproque est la racine $n$-ième : pour $x\ge 0$, $\sqrt[n]{x}$ est l'unique réel positif $y$ tel que $y^n=x$. On note aussi $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$.

Pour $x,y\ge 0$ et $n,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

L'équation $x^n=a$ ($a\ge 0$) a pour unique solution positive $x=\sqrt[n]{a}$. Si $n$ est impair, $x\to x^n$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ et l'équation a une unique solution réelle pour tout $a$.

$\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[4]{81}=3$, $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}$. L'équation $x^5=32$ a pour unique solution $x=2$ ; l'équation $x^4=5$ a deux solutions réelles, $\sqrt[4]{5}$ et $-\sqrt[4]{5}$.