Fonctions exponentielles

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

1. 01Équations et inéquations

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

   1. $e^{2x}-3e^x+2=0$ ;
   2. $e^x\le e^{3-2x}$ ;
   3. $(e^x-1)(e^x-4)>0$.
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   1. On pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0$, soit $X=1$ ou $X=2$. Donc $e^x=1$ ou $e^x=2$ : $S=\{0,\ln 2\}$.
   2. La fonction exponentielle est strictement croissante : $e^x\le e^{3-2x}$ équivaut à $x\le 3-2x$, soit $x\le 1$. $S=]-\infty ,1]$.
   3. Un produit est strictement positif si ses facteurs sont de même signe. $e^x-1>0$ équivaut à $x>0$ et $e^x-4>0$ équivaut à $x>\ln 4$. Tableau de signes : le produit est positif pour $x<0$ (deux facteurs négatifs) et pour $x>\ln 4$. $S=]-\infty ,0[\cup ]\ln 4,+\infty [$.

2. 02Étude d'une fonction

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2-x)e^x$.

   1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
   3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
   4. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
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   1. En $-\infty$ : $f(x)=2e^x-x{e}^x$ ; or ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$ et ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^x=0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$. En $+\infty$ : $2-x\to -\infty$ et $e^x\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.
   2. $f^{\prime }(x)=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x$. Comme $e^x>0$, $f^{\prime }(x)$ est du signe de $1-x$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ,1]$ et décroissante sur $[1,+\infty [$, avec un maximum $f(1)=e$.
   3. $f(0)=2$ et $f^{\prime }(0)=1$ : tangente $y=x+2$.
   4. $e^x>0$ pour tout $x$, donc $f(x)=0$ équivaut à $2-x=0$ : $x=2$.

3. 03Inégalité classique e^x ≥ 1 + x

   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x-x-1$.

   1. Étudier les variations de $g$.
   2. En déduire que pour tout réel $x$ : $e^x\ge 1+x$.
   3. En déduire que pour tout $x>-1$ : $\ln (1+x)\le x$.
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   1. $g^{\prime }(x)=e^x-1$, qui s'annule en $0$, est négative sur $]-\infty ,0[$ et positive sur $]0,+\infty [$. $g$ est décroissante sur $]-\infty ,0]$ puis croissante sur $[0,+\infty [$ ; son minimum est $g(0)=1-0-1=0$.
   2. Pour tout $x$, $g(x)\ge g(0)=0$, c'est-à-dire $e^x\ge 1+x$.
   3. Pour $x>-1$, $1+x>0$ et l'inégalité $1+x\le e^x$ donne, par croissance de $\ln$ : $\ln (1+x)\le \ln (e^x)=x$.

4. 04Fonctions puissances et croissances comparées

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2^x=8^{x-1}$.
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3^{2x}-4\times 3^x+3=0$.
   3. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^2{e}^{-x}$.
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   1. $8=2^3$, donc $8^{x-1}=2^{3(x-1)}$. L'équation devient $x=3x-3$, soit $x=\frac{3}{2}$. (Autre méthode : $x\ln 2=(x-1)\ln 8=3(x-1)\ln 2$.)
   2. On pose $X=3^x>0$ : $X^2-4X+3=0$, soit $X=1$ ou $X=3$. Donc $3^x=1$ ou $3^x=3$ : $S=\{0,1\}$.
   3. $x^2{e}^{-x}=\frac{x^2}{e^x}$. Par croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x^2}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^2{e}^{-x}=0$.

5. 05Charge d'un condensateur

   La tension aux bornes d'un condensateur en charge est donnée par $u(t)=E(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$ pour $t\ge 0$, avec $E=6$ V et $\tau =2$ s.

   1. Calculer $u(0)$ et ${\lim }_{t\to +\infty }u(t)$. Interpréter.
   2. Calculer $u^{\prime }(t)$ et en déduire le sens de variation de $u$.
   3. Au bout de combien de temps la tension atteint-elle $95\%$ de sa valeur limite ?
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   1. $u(0)=E(1-1)=0$ : le condensateur est initialement déchargé. ${\lim }_{t\to +\infty }{e}^{-\frac{t}{\tau }}=0$, donc ${\lim }_{t\to +\infty }u(t)=E=6$ V : la tension tend vers la tension du générateur.
   2. $u^{\prime }(t)=\frac{E}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }}=3e^{-\frac{t}{2}}>0$ : $u$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$.
   3. $u(t)=0,95E$ équivaut à $1-e^{-\frac{t}{2}}=0,95$, soit $e^{-\frac{t}{2}}=0,05$, donc $-\frac{t}{2}=\ln (0,05)$ et $t=2\ln 20\approx 6,0$ s (environ $3\tau$).

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