MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Nombres complexes (partie 2)

Forme trigonométrique et exponentielle, Moivre, Euler, racines n-ièmes, applications géométriques.

الأعداد العقدية (الجزء 2) : الشكل المثلثي والشكل الأسي، صيغة موافر، صيغ أولير، الجذور من الرتبة n، التطبيقات الهندسية للأعداد العقدية.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

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Forme trigonométrique

Figure interactive : nombre complexe : module, argument et rotation

|z| = r2arg z = θ30°rotation φ60°z = 1,73 + 1i ; z' = e^iφ z a le même module et un argument θ + φ = 90°

Le point M d’affixe z est repéré par son module r = OM et son argument θ. Multiplier z par e^{iφ} fait tourner M autour de O de l’angle φ sans changer le module : c’est l’écriture complexe d’une rotation de centre O.

Définition

Tout complexe non nul $z$ s'écrit de manière unique (modulo $2 π$ ) :

z = r (cos θ + i sin θ), r = ∣ z ∣ > 0.

$θ$ est un argument de $z$ , noté $a r g (z)$ (défini modulo $2 π$ ).

Pour passer de $z = x + i y$ à $(r, θ)$ : $r = x^{2} + y^{2}$ , $cos θ = \frac{x}{r}, sin θ = \frac{y}{r}$ .

Exemple

$z = 1 + i$ : $r = 2$ , $cos θ = sin θ = \frac{1}{2}$ , $θ = \frac{π}{4}$ . Donc $z = 2 (cos (\frac{π}{4}) + i sin (\frac{π}{4}))$ .

Forme exponentielle

Définition

Pour $θ \in R$ , on pose :

e^{i θ} = cos θ + i sin θ .

Tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i θ}$ avec $r = ∣ z ∣$ , $θ = a r g (z)$ .

Théorème : Propriétés algébriques

$e^{i θ} \times e^{i φ} = e^{i (θ + φ)}$ .
$\frac{1}{e ^{i θ}} = e^{- i θ}$ .
$∣ e^{i θ} ∣ = 1$ ; $e^{i θ} = e^{- i θ}$ .
$e^{i 0} = 1$ ; $e^{iπ} = - 1$ (célèbre).

Théorème : Formule de Moivre

Pour tout $n \in Z$ :

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ) .

Théorème : Formules d'Euler

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i} .

Utilité : linéariser des puissances de $cos$ ou $sin$ en utilisant les développements binomiaux de $(e^{i θ} \pm e^{- i θ})^{n}$ .

Racines n-ièmes d'un complexe

Théorème

Soit $z_{0} = r_{0} e^{i θ_{0}}$ avec $r_{0} > 0$ et $n \in N^{*}$ . L'équation $z^{n} = z_{0}$ admet exactement $n$ solutions, appelées racines $n$ -ièmes de $z_{0}$ :

z_{k} = r_{0}^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{θ _{0} + 2 k π}{n}}, k = 0, 1, \dots, n - 1.

Cas particulier $z_{0} = 1$ : racines $n$ -ièmes de l'unité : $1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}$ où $ω = e^{2 i \frac{π}{n}}$ . Elles forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Applications géométriques

Propriété : Rotation via l'exponentielle

La rotation de centre $Ω$ (d'affixe $ω$ ) et d'angle $θ$ envoie $z$ sur $z^{'}$ avec :

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω) .

Propriété : Similitude directe

La similitude directe de centre $Ω$ , rapport $k > 0$ et angle $θ$ vérifie :

z^{'} - ω = k e^{i θ} (z - ω) .

Propriété : Interprétation de

\frac{z - a}{z - b}

Pour $A, B$ distincts d'affixes $a, b$ et $M$ d'affixe $z$ :

$∣ \frac{z - a}{z - b} ∣ = M \frac{A}{M} B$ .
$a r g (\frac{z - a}{z - b}) = (M B, M A)$ (modulo $2 π$ ).

Ces relations sont centrales pour démontrer l'alignement ( $a r g = 0$ ou $π$ ) ou l'orthogonalité ( $a r g = \pm \frac{π}{2}$ ) en géométrie complexe.

Exemple

Montrer que quatre points $A, B, C, D$ (distincts) sont cocycliques ou alignés ssi $\frac{( c - a ) ( d - b )}{( c - b ) ( d - a )} \in R$ (« birapport réel »).

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0/10 répondues

1.
Un argument de $z = - 1 + i$ est :
2.
La forme exponentielle de $z = 2 i$ est :
3.
La forme algébrique de $2 e^{i \frac{π}{3}}$ est :
4.
$(e^{i \frac{π}{6}})^{3}$ est égal à :
5.
La formule de Moivre s'écrit, pour $n \in Z$ :
6.
D'après les formules d'Euler, $cos θ$ est égal à :
7.
Dans $C$ , l'équation $z^{3} = 8$ admet :
8.
La rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ envoie le point d'affixe $z$ sur le point d'affixe :
9.
Soient $A (a)$ , $B (b)$ et $M (z)$ trois points distincts. Si $\frac{z - a}{z - b}$ est un réel non nul, alors :
10.
Avec les mêmes notations, $∣ \frac{z - a}{z - b} ∣ = 1$ signifie que :

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