MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Fonctions logarithmiques

Logarithme népérien, propriétés algébriques, dérivée, limites, étude de fonctions, équations et inéquations.

الدوال اللوغاريتمية : اللوغاريتم النيبيري، الخاصيات الجبرية، المشتقة، النهايات، دراسة الدوال اللوغاريتمية، المعادلات والمتراجحات.

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Le cours

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Logarithme népérien

Figure interactive : exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x

a0,7(a ; e^a) = (0,7 ; 2,01) sur exp, et (e^a ; a) = (2,01 ; 0,7) sur ln

exp est la réciproque de ln : les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Le point (a ; eᵃ) de la courbe de exp a pour symétrique le point (eᵃ ; a) de la courbe de ln.

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0, + \infty [$ comme l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ .

ln :] 0, + \infty [\to R, ln (1) = 0.

Le nombre $e = exp (1) \approx 2, 718$ est l'unique réel tel que $ln (e) = 1$ .

Propriétés algébriques fondamentales

Théorème

Pour tous $a, b > 0$ et $n \in Z$ :

$ln (a \times b) = ln a + ln b$ (fondamentale)
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n \times ln a$
$ln (a) = (\frac{1}{2}) ln a$
$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$

Dérivée et variations

Propriété

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ .
$ln$ est strictement croissante ; $lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} ln x = + \infty$ .
Pour une fonction $u > 0$ dérivable : $(ln u)^{'} = u^{'} / u$ .

Propriété : Limites remarquables

$lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0$ (croissance comparée).
$lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x ^{n}} = 0$ pour $n > 0$ .
$lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ .
$lim_{x \to 1} \frac{l n x}{x - 1} = 1$ .

Équations et inéquations

Propriété

Pour $a, b > 0$ :

$ln a = ln b \Leftrightarrow a = b$ .
$ln a = c \Leftrightarrow a = e^{c}$ .
$ln a > ln b \Leftrightarrow a > b$ (croissance stricte).

Exemple

Résoudre $ln (x^{2} - 4) = ln (3 x)$ . Conditions : $x^{2} > 4$ ET $x > 0$ , soit $x > 2$ . L'équation devient $x^{2} - 4 = 3 x$ , soit $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , racines $x = 4$ ou $x = - 1$ . Seul $x = 4$ vérifie $x > 2$ .

Exemple

Résoudre $ln (x) \leq 2$ . $x > 0$ et $x \leq e^{2}$ . Donc $x \in] 0, e^{2}]$ .

Étude de fonctions avec ln

Figure interactive : croissance comparée : ln x / x tend vers 0

x4,5f(x) ≈ 0,334

ln x grandit beaucoup moins vite que x : le quotient ln x / x tend vers 0 en +∞ (asymptote horizontale y = 0), après un maximum en x = e.

Méthode type :

Déterminer le domaine (exiger argument $> 0$ ).
Limites aux bornes (attention aux formes indéterminées, utiliser les croissances comparées).
Dérivée $f^{'} = (u^{'} / u) \times g^{'} (ln u)$ ou similaire.
Tableau de variations.

Exemple

$f (x) = x ln x$ sur $] 0, + \infty [$ .

$D =] 0, + \infty [$ .
$lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ . $lim_{x \to + \infty} x ln x = + \infty$ .
$f^{'} (x) = ln x + 1$ . Zéro en $x = e^{- 1} = \frac{1}{e}$ . Signe $-$ avant, $+$ après.
Minimum $f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ en $x = \frac{1}{e}$ .

Logarithme décimal

Définition

Le logarithme décimal est $lo g (x) = \frac{l n ( x )}{l n ( 10 )}$ pour $x > 0$ . Il vérifie les mêmes propriétés algébriques que $ln$ , avec $lo g (10) = 1$ , $lo g (1 0^{n}) = n$ .

Usage : ordres de grandeur, échelle logarithmique (pH, décibels, Richter).

Documents

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0/10 répondues

1.
La fonction $ln$ est définie sur $] 0, + \infty [$ comme :
2.
$ln 8$ est égal à :
3.
Pour $a > 0$ , $ln (a)$ vaut :
4.
La dérivée de $x \to ln (x^{2} + 1)$ est :
5.
$lim_{x \to 0^{+}} x ln x$ vaut :
6.
$lim_{x \to 1} \frac{l n x}{x - 1}$ vaut :
7.
L'ensemble des solutions de $ln x + ln (x - 3) = ln 4$ est :
8.
L'ensemble des solutions de $ln x \geq - 1$ est :
9.
Sur $] 0, + \infty [$ , la fonction $f (x) = x - ln x$ admet :
10.
Le logarithme décimal est défini pour $x > 0$ par $lo g (x) =$

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