MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Géométrie dans l'espace

Produit scalaire et produit vectoriel dans l'espace, équations de plans et sphères, distances.

الهندسة الفضائية : الجداء السلمي والجداء المتجهي في الفضاء، معادلات المستويات والفلكات، حساب المسافات.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Produit scalaire dans l'espace (approfondissement)

Définition

Pour $u, v$ dans l'espace : $u \cdot v = ∣∣ u ∣∣∣∣ v ∣∣ cos (u, v)$ . En repère orthonormé :

u (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \cdot v (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} .

Propriété

Symétrique, bilinéaire, $u \cdot u = ∣∣ u ∣ ∣^{2}$ . Orthogonalité : $u \cdot v = 0$ .

Produit vectoriel

Définition

Le produit vectoriel $u \land v$ (aussi noté $u \times v$ ) est le vecteur :

orthogonal à $u$ et à $v$ ;
de norme $∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times ∣ sin (u, v) ∣$ ;
direction donnée par la règle des trois doigts (orientation directe). En repère orthonormé direct, $u (x_{1}, y_{1}, z_{1}), v (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

u \land v = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) .

Propriété

Antisymétrie : $v \land u = - u \land v$ .
Bilinéarité.
$u \land u = 0$ .
$u \land v = 0$ ssi $u, v$ colinéaires.
$∣∣ u \land v ∣∣$ est l'aire du parallélogramme engendré.

Exemple

$u (1, 2, 3), v (4, 5, 6)$ : $u \land v = (2 \times 6 - 3 \times 5, 3 \times 4 - 1 \times 6, 1 \times 5 - 2 \times 4) = (- 3, 6, - 3)$ .

Équation cartésienne d'un plan

Théorème

Le plan passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation :

a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0,

ou de manière équivalente $a x + b y + cz + d = 0$ .

Propriété : Plan défini par trois points

Un vecteur normal au plan $(A B C)$ est $n = A B \land A C$ (non nul si les points sont non alignés).

Intersection droite-plan, plan-plan

Propriété

Droite $(D)$ de paramétrique, plan $(P)$ d'équation cartésienne : substituer les expressions de $x, y, z$ dans l'équation du plan et résoudre en $t$ .
Deux plans parallèles ssi leurs normaux sont colinéaires. Si sécants, leur intersection est une droite dont un vecteur directeur est $n_{1} \land n_{2}$ .

Équation d'une sphère

Théorème

Sphère de centre $Ω (a, b, c)$ et rayon $r$ : équation $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ . Forme développée : $x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0$ , correspondant à une sphère ssi $(alpha/2)^2 + (beta/2)^2 + (gamma/2)^2

delta > 0$.

Distances

Théorème

Distance du point $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ au plan $a x + b y + cz + d = 0$ :

d (M, P) = ∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d ∣/ a^{2} + b^{2} + c^{2} .

Distance du point $M$ à la droite $(D)$ passant par $A$ et de directeur $u$ :

d (M, D) = ∣∣ A M \land u ∣∣/∣∣ u ∣∣.

Volume du parallélépipède

Le volume du parallélépipède engendré par $u, v, w$ est $∣ det (u, v, w) ∣ = ∣ (u \land v) \cdot w ∣$ (produit mixte).

Exercices type bac corrigés

3 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Plan défini par trois points, aire et volume
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On donne $A (1, 2, 0)$ , $B (- 1, 0, 3)$ , $C (2, - 1, 1)$ et $D (0, 0, 5)$ .
1. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. Calculer $A B \times A C$ et en déduire une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
3. Calculer l'aire du triangle $A B C$ .
4. Calculer la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ , puis le volume du tétraèdre $A B C D$ .
Voir la correction
1. $A B (- 2, - 2, 3)$ et $A C (1, - 3, 1)$ . Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les rapports $- \frac{2}{1}$ et $- \frac{2}{- 3}$ diffèrent), donc $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.
2. $A B \times A C = ((- 2) (1) - (3) (- 3), (3) (1) - (- 2) (1), (- 2) (- 3) - (- 2) (1)) = (7, 5, 8)$ . Ce vecteur est normal au plan $(A B C)$ , d'où l'équation $7 x + 5 y + 8 z + d = 0$ . Avec $A$ : $7 + 10 + d = 0$ , donc $d = - 17$ . $(A B C) : 7 x + 5 y + 8 z - 17 = 0$ (on vérifie que $B$ et $C$ la satisfont).
3. Aire $= \frac{1}{2} ∥ A B \times A C ∥ = \frac{1}{2} 49 + 25 + 64 = \frac{138}{2}$ .
4. $d (D, (A B C)) = ∣7 \times 0 + 5 \times 0 + 8 \times 5 - 17∣/ 138 = \frac{23}{138}$ . Volume $= \frac{1}{3} \times Aire \times d = \frac{1}{3} \times \frac{138}{2} \times \frac{23}{138} = \frac{23}{6}$ .
Sphère et plan
On considère l'ensemble $(S)$ des points $M (x, y, z)$ tels que $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0$ et le plan $(P) : 2 x - y + 2 z - 5 = 0$ .
1. Montrer que $(S)$ est une sphère dont on précisera le centre $Ω$ et le rayon $R$ .
2. Calculer la distance de $Ω$ au plan $(P)$ et en déduire que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle dont on déterminera le rayon.
3. Déterminer les coordonnées du centre $H$ de ce cercle.
Voir la correction
1. En complétant les carrés : $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 1 + 4 + 9 - 5 = 9$ . $(S)$ est la sphère de centre $Ω (1, - 2, 3)$ et de rayon $R = 3$ .
2. $d (Ω, (P)) = ∣2 + 2 + 6 - 5∣/ 4 + 1 + 4 = \frac{5}{3}$ . Comme $\frac{5}{3} < 3 = R$ , le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2} = 9 - \frac{25}{9} = \frac{56}{9} = \frac{2 14}{3}$ .
3. $H$ est le projeté orthogonal de $Ω$ sur $(P)$ : $H = Ω + t n$ avec $n (2, - 1, 2)$ , soit $H (1 + 2 t, - 2 - t, 3 + 2 t)$ . $H \in (P)$ : $2 (1 + 2 t) - (- 2 - t) + 2 (3 + 2 t) - 5 = 0$ , soit $9 t + 5 = 0$ et $t = - \frac{5}{9}$ . Donc $H (- \frac{1}{9}, - \frac{13}{9}, \frac{17}{9})$ .
Droite, plan et plan tangent
On donne la droite $(D)$ de représentation paramétrique ${x = 1 + t y = - 2 t z = 3 + 2 t$ ( $t \in R$ ), le plan $(Q) : x + 2 y - z + 4 = 0$ et la sphère $(S)$ de centre $Ω (1, - 2, 3)$ et de rayon $3$ .
1. Déterminer le point d'intersection de $(D)$ et $(Q)$ .
2. Vérifier que le point $M (1, - 2, 6)$ appartient à $(S)$ et déterminer une équation du plan tangent à $(S)$ en $M$ .
Voir la correction
1. On remplace dans l'équation de $(Q)$ : $(1 + t) + 2 (- 2 t) - (3 + 2 t) + 4 = 2 - 5 t = 0$ , donc $t = \frac{2}{5}$ . Le point d'intersection est $I (\frac{7}{5}, - \frac{4}{5}, \frac{19}{5})$ .
2. $Ω M = 0 + 0 + 9 = 3 = R$ , donc $M \in (S)$ . Le plan tangent en $M$ est le plan passant par $M$ et de vecteur normal $Ω M (0, 0, 3)$ : son équation est $3 (z - 6) = 0$ , soit $z = 6$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
En repère orthonormé, $u (1, - 2, 3) \cdot v (2, 1, 0)$ vaut :
2.
Le produit vectoriel $u \land v$ est un vecteur :
3.
Pour $u (1, 0, 2)$ et $v (0, 1, 3)$ , le produit vectoriel $u \land v$ a pour coordonnées :
4.
$u \land v = 0$ si et seulement si $u$ et $v$ sont :
5.
Le plan passant par $A (1, 2, 3)$ et de vecteur normal $n (2, - 1, 1)$ a pour équation :
6.
Un vecteur normal au plan $(A B C)$ (points non alignés) est :
7.
Les plans $x + y - z = 1$ et $2 x + 2 y - 2 z = 5$ sont :
8.
L'ensemble d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ est la sphère :
9.
La distance du point $M (1, 1, 1)$ au plan $x + 2 y + 2 z - 11 = 0$ vaut :
10.
Le volume du parallélépipède engendré par $u$ , $v$ , $w$ est :

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Géométrie dans l'espace

Le cours

Produit scalaire dans l'espace (approfondissement)

Produit vectoriel

Équation cartésienne d'un plan

Intersection droite-plan, plan-plan

Équation d'une sphère

Distances

Volume du parallélépipède

Exercices type bac corrigés

01Plan défini par trois points, aire et volume

02Sphère et plan

03Droite, plan et plan tangent

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Plan défini par trois points, aire et volume

Sphère et plan

Droite, plan et plan tangent