Nombres complexes (partie 1)

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

1. 01Forme algébrique, conjugué, module

   On donne $z_1=3-2i$ et $z_2=-1+4i$.

   1. Écrire sous forme algébrique $z_1+z_2$, $z_1{z}_2$ et $\frac{z_1}{z_2}$.
   2. Calculer $\overline{z_1}$, $|z_1|$ et $|z_1{z}_2|$.
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   1. $z_1+z_2=2+2i$. $z_1{z}_2=(3-2i)(-1+4i)=-3+12i+2i-8i^2=-3+14i+8=5+14i$. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3-2i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i)}=\frac{-3-12i+2i+8i^2}{1+16}=\frac{-11-10i}{17}=-\frac{11}{17}-\frac{10}{17}i$.
   2. $\overline{z_1}=3+2i$ ; $|z_1|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ; $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|=\sqrt{13}\times \sqrt{17}=\sqrt{221}$.

2. 02Équation du second degré dans ℂ

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.
   2. On note $z_1$ la solution de partie imaginaire positive. Calculer $|z_1|$, $z_1+\overline{z_1}$ et $z_1\overline{z_1}$.
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+z+1=0$.
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   1. $\Delta =16-52=-36=(6i{)}^2$. Les solutions sont $z=\frac{4\pm 6i}{2}$, soit $z_1=2+3i$ et $z_2=2-3i$.
   2. $|z_1|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ ; $z_1+\overline{z_1}=2\mathrm{Re}(z_1)=4$ ; $z_1\overline{z_1}=|z_1{|}^2=13$. On retrouve la somme et le produit des racines.
   3. $\Delta =1-4=-3=(i\sqrt{3}{)}^2$, donc $z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ : $z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ou $z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

3. 03Ensembles de points dans le plan complexe

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :

   1. $|z-2+i|=3$ ;
   2. $|z-1|=|z+i|$.
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   1. $|z-2+i|=|z-(2-i)|=\Omega M$ où $\Omega$ est le point d'affixe $2-i$. L'ensemble cherché est le cercle de centre $\Omega (2,-1)$ et de rayon $3$.
   2. $|z-1|=AM$ et $|z+i|=|z-(-i)|=BM$ avec $A(1,0)$ et $B(0,-1)$. $AM=BM$ : l'ensemble cherché est la médiatrice du segment $[AB]$.

4. 04Partie réelle et partie imaginaire

   Soit $z=x+iy$ ($x,y$ réels) et $w=z^2+2\overline{z}$.

   1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $w$ en fonction de $x$ et $y$.
   2. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $w$ soit réel.
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   1. $z^2=x^2-y^2+2ixy$ et $2\overline{z}=2x-2iy$, donc $w=(x^2-y^2+2x)+i(2xy-2y)$ : $\mathrm{Re}(w)=x^2-y^2+2x$ et $\mathrm{Im}(w)=2y(x-1)$.
   2. $w$ est réel si et seulement si $2y(x-1)=0$, soit $y=0$ ou $x=1$. L'ensemble cherché est la réunion de l'axe des réels et de la droite d'équation $x=1$.

5. 05Racines carrées d'un nombre complexe

   1. Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2=-5+12i$.
   2. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $2z^2-2z+3-6i=0$.
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   1. On pose $z=x+iy$. Alors $z^2=x^2-y^2+2ixy$ et $|z{|}^2=|z^2|$ : $x^2-y^2=-5$, $2xy=12$ et $x^2+y^2=|-5+12i|=\sqrt{25+144}=13$. En ajoutant et retranchant : $x^2=4$ et $y^2=9$. Comme $xy=6>0$, $x$ et $y$ ont le même signe : $z=2+3i$ ou $z=-2-3i$. Vérification : $(2+3i{)}^2=4+12i-9=-5+12i$.
   2. $\Delta =(-2{)}^2-4\times 2\times (3-6i)=4-24+48i=-20+48i=4(-5+12i)$. D'après la question 1, une racine carrée de $\Delta$ est $\delta =2(2+3i)=4+6i$. Les solutions sont $z=\frac{2\pm (4+6i)}{4}$, soit $z_1=\frac{6+6i}{4}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i$ et $z_2=\frac{-2-6i}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$. Vérification : $z_1+z_2=1=\frac{2}{2}$ et $z_1{z}_2=\frac{3-6i}{2}$, conformément aux relations somme et produit des racines.

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