Calcul intégral

Soient $f$ continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ est :

La valeur ne dépend pas du choix de la primitive (constantes se soustraient).

Pour $f,g$ continues sur $[a,b]$ et $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ :

1. Linéarité : ${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g$.
2. Relation de Chasles : ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ pour tout $c\in [a,b]$.
3. Positivité : si $f\ge 0$ sur $[a,b]$ alors ${\int }_a^{b}f\ge 0$.
4. Monotonie : si $f\le g$ alors ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$.
5. ${\int }_a^{a}f=0$ ; ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.

Soit $f$ continue sur $I$ contenant $a$. La fonction $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$. En particulier $F^{\prime }=f$.

Soient $u,v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$. Alors :

Calculer $I={\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x$. $u=x,v^{\prime }=e^x$ : $u^{\prime }=1,v=e^x$. $I=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$.

$\int 2x{e}^{x^2}\mathrm{d}x$ : $u=x^2,u^{\prime }=2x$. Primitive : $e^{x^2}+c$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est :

L'aire de la surface délimitée par $C_f$ (avec $f\ge 0$), l'axe $(Ox)$ et les droites $x=a$ et $x=b$ vaut ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ (unités d'aire). Si $f$ change de signe, découper l'intervalle selon les zéros et sommer les valeurs absolues. L'aire entre deux courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ (avec $f\ge g$) sur $[a,b]$ vaut ${\int }_a^b(f-g)\mathrm{d}x$.

Aire sous $y=x^2$ de $0$ à $1$ : ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$.

Le volume du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la courbe $y=f(x)\ge 0$ sur $[a,b]$ est :

Volume de la sphère de rayon $R$ : $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ sur $[-R,R]$. $V=\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)\mathrm{d}x=\pi [R^{2}x-\frac{x^3}{3}{]}_{-R}^R=\pi (2R^3-2\frac{R^3}{3})=\frac{4\pi R^3}{3}$.