MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Dénombrement et probabilités

Combinatoire, espace probabilisé, probabilité conditionnelle, indépendance, variables aléatoires discrètes.

التعداد والاحتمالات : التعداد، الفضاء الاحتمالي، الاحتمال الشرطي، استقلال الأحداث، المتغيرات العشوائية المتقطعة وقانون الاحتمال.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Principes du dénombrement

Propriété

Principe multiplicatif : si une tâche se décompose en $k$ étapes successives avec $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ choix, il y a $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$ issues possibles.
Principe additif : si une tâche peut se réaliser de deux façons exclusives avec $n_{1}, n_{2}$ choix, le nombre total est $n_{1} + n_{2}$ .

Arrangements, permutations, combinaisons

Définition

Sur un ensemble à $n$ éléments :

Permutations de $n$ éléments (tous ordonnés) : $n!$ .
Arrangements de $k$ parmi $n$ (ordonnés, sans répétition) : $A_{n}^{k} = n! / (n - k)! = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ .
Combinaisons de $k$ parmi $n$ (non ordonnés, sans répétition) : $C_{n}^{k} = (k n) = n! / (k! (n - k)!)$ .

Propriété : Propriétés des coefficients binomiaux

$(k n) = (n - k n)$ (symétrie).
$(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ (triangle de Pascal).
$\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ (cardinal de $2^{E}$ pour $∣ E ∣ = n$ ).

Théorème : Formule du binôme de Newton

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k} .

Espace probabilisé fini

Pour aller plus loin, en Python : simuler des lancers de dés

Tu peux modifier le programme avant de l'exécuter. Rien n'est envoyé : Python tourne dans ton navigateur.

La fréquence observée sur un grand nombre de répétitions se rapproche de la probabilité théorique 1/6 : c’est la loi des grands nombres, que l’on rencontre après le lycée.

Définition

Une expérience aléatoire a un ensemble d'issues possibles $Ω$ (l'univers). Un événement est une partie $A \subseteq Ω$ . Une probabilité est une fonction $P : 2^{Ω} \to [0, 1]$ telle que $P (Ω) = 1$ et $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ pour $A, B$ disjoints.

Propriété : Équiprobabilité

Si les issues sont équiprobables et $∣Ω∣ = n$ :

P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣ = \frac{# cas favorables}{# cas possibles} .

Probabilité conditionnelle

Figure interactive : arbre de probabilités, probabilités totales et formule de Bayes

P(A)0,3P(B | A)0,8P(B | non A)0,1P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,1 = 0,31 ; P(A | B) = 0,774

Sur l’arbre, on multiplie le long d’une branche (P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)) et on additionne les branches qui mènent à B : c’est la formule des probabilités totales. La formule de Bayes remonte l’arbre : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Définition

Soient $A, B$ deux événements avec $P (B) > 0$ . La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .

Théorème : Formule des probabilités totales

Soit $(B_{i})_{1 \leq i \leq n}$ une partition de $Ω$ avec $P (B_{i}) > 0$ pour tout $i$ . Pour tout événement $A$ :

P (A) = i \sum P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) .

Théorème : Formule de Bayes

Si $P (A) > 0$ et $P (B) > 0$ :

P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) P ( A )}{P ( B )} .

Indépendance

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .

Équivalent, si $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = P (A)$ .

Variable aléatoire discrète

Définition

Une variable aléatoire $X$ sur $Ω$ est une fonction $X : Ω \to R$ . Elle est discrète si ses valeurs forment un ensemble fini (ou dénombrable) $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Sa loi est la donnée des $P (X = x_{i})$ .

Définition : Espérance, variance

Espérance : $E (X) = \sum_{i} x_{i} P (X = x_{i})$ .
Variance : $V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{2} P (X = x_{i})$ . Formule pratique : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ .
Écart-type : $σ (X) = V (X)$ .

Exemple

Lancer d'un dé équilibré. $X$ = valeur affichée. $E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3, 5$ . $V (X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} - 3, 5^{2} = \frac{91}{6} - 12, 25 \approx 2, 92$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Un code est formé d'une lettre (parmi $26$ ) suivie de deux chiffres (parmi $10$ chacun). Le nombre de codes possibles est :
2.
Le nombre de podiums possibles (1er, 2e, 3e) parmi $8$ coureurs est :
3.
$(2 6)$ vaut :
4.
$(7 10)$ vaut :
5.
Dans le développement de $(x + 1)^{5}$ , le coefficient de $x^{2}$ est :
6.
On lance deux dés équilibrés. La probabilité que la somme vaille $4$ est :
7.
Si $P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{2}{5}$ et $P (A \cap B) = \frac{1}{10}$ , alors $P (A ∣ B)$ vaut :
8.
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :
9.
On choisit au hasard l'une de deux urnes $U_{1}$ , $U_{2}$ (chacune avec probabilité $\frac{1}{2}$ ) puis une boule. Si $P (R ∣ U_{1}) = \frac{1}{2}$ et $P (R ∣ U_{2}) = \frac{1}{4}$ , alors $P (R)$ vaut :
10.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ avec les probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ . Alors :

Encore 10 questions.