MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Équations différentielles

Équations y' = ay, y' = ay + b, y'' + ω²y = 0 ; problèmes à conditions initiales.

المعادلات التفاضلية : المعادلات التفاضلية من الشكل y'=ay و y'=ay+b و y''+ω²y=0، حل المسائل ذات الشروط البدئية.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Équation $y^{'} = a y$

Théorème

Soit $a \in R$ . Les solutions sur $R$ de $y^{'} (x) = a y (x)$ sont exactement les fonctions :

y (x) = C e^{a x}, C \in R .

Démonstration

Si $y (x) = C e^{a x}$ , alors $y^{'} (x) = a C e^{a x} = a y (x)$ . Réciproquement, soit $z (x) = y (x) e^{- a x}$ . $z^{'} (x) = (y^{'} - a y) e^{- a x} = 0$ , donc $z$ est constante, d'où $y (x) = C e^{a x}$ .

Exemple

$y^{'} = 3 y$ avec $y (0) = 2$ : $y (x) = 2 e^{3 x}$ .

Équation $y^{'} = a y + b$ (affine)

Théorème

Pour $a \in R^{*}$ et $b \in R$ , les solutions de $y^{'} = a y + b$ sont :

y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .

Démonstration

La fonction constante $y_{p} = - \frac{b}{a}$ est solution particulière. Toute solution s'écrit $y = y_{p} + y_{h}$ où $y_{h}$ résout $y^{'} = a y$ (homogène associée). D'où la forme.

Exemple

$y^{'} = - 2 y + 6$ , $y (0) = 1$ . Solutions $y = C e^{- 2 x} + 3$ . $y (0) = C + 3 = 1$ , donc $C = - 2$ . $y (x) = - 2 e^{- 2 x} + 3$ .

Équation harmonique $y^{''} + ω^{2} y = 0$

Théorème

Pour $ω > 0$ , les solutions sur $R$ de $y^{''} + ω^{2} y = 0$ sont :

y (x) = A cos (ω x) + B sin (ω x), A, B \in R .

Équivalemment : $y (x) = R cos (ω x - φ)$ avec $R = A^{2} + B^{2}$ .

Cette équation régit les oscillations harmoniques (ressort, pendule simple).

Exemple

$y^{''} + 4 y = 0$ avec $y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$ . Solutions $y = A cos (2 x) + B sin (2 x)$ . $y (0) = A = 1$ , $y^{'} (0) = 2 B = 0$ , donc $B = 0$ . $y (x) = cos (2 x)$ .

Problèmes à conditions initiales

Ces équations apparaissent naturellement quand on modélise :

Refroidissement : $T^{'} (t) = k (T (t) - T_{ext})$ (loi de Newton).
Désintégration radioactive : $N^{'} (t) = - λ N (t)$ .
Croissance de population (modèle exponentiel) : $P^{'} (t) = r P (t)$ .

Chaque situation physique fournit des conditions initiales qui déterminent la constante d'intégration.

Exemple

Modèle de refroidissement. Une tasse de café à $8 0^{\circ}$ C refroidit dans une pièce à $2 0^{\circ}$ C. On suppose $T^{'} = - 0, 1 (T - 20)$ . À $t = 0$ , $T = 80$ . Solutions : $T (t) = C e^{- 0, 1 t} + 20$ , $T (0) = C + 20 = 80$ , $C = 60$ . $T (t) = 60 e^{- 0, 1 t} + 20$ . Après $t = 10$ min : $T = 60 e^{- 1} + 20 \approx 4 2^{\circ}$ C.

Liens avec les primitives

Résoudre $y^{'} = f (x)$ (équation sans $y$ au second membre) revient à trouver une primitive de $f$ . C'est le cas le plus simple : $y (x) = F (x) + C$ .

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Équations y' = a y avec condition initiale
1. Résoudre l'équation différentielle $y^{'} = 3 y$ et déterminer la solution $f$ vérifiant $f (0) = 2$ .
2. Résoudre l'équation différentielle $y^{'} + 2 y = 0$ et déterminer la solution $g$ vérifiant $g (1) = e$ .
Voir la correction
1. Les solutions de $y^{'} = 3 y$ sont les fonctions $x \to C e^{3 x}$ , $C \in R$ . $f (0) = 2$ donne $C = 2$ , donc $f (x) = 2 e^{3 x}$ .
2. $y^{'} + 2 y = 0$ s'écrit $y^{'} = - 2 y$ : solutions $x \to C e^{- 2 x}$ . $g (1) = e$ donne $C e^{- 2} = e$ , soit $C = e^{3}$ , donc $g (x) = e^{3} e^{- 2 x} = e^{3 - 2 x}$ .
Équation affine y' = a y + b
On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} = 2 y - 4$ .
1. Déterminer la solution constante de $(E)$ .
2. Résoudre $(E)$ .
3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f (0) = 5$ , puis calculer $f^{'} (0)$ .
Voir la correction
1. Une fonction constante $y = c$ vérifie $y^{'} = 0$ , donc $0 = 2 c - 4$ et $c = 2$ .
2. Les solutions de $y^{'} = a y + b$ sont $x \to C e^{a x} - \frac{b}{a}$ ; ici $a = 2$ , $b = - 4$ : $y = C e^{2 x} + 2$ , $C \in R$ .
3. $f (0) = 5$ donne $C + 2 = 5$ , soit $C = 3$ : $f (x) = 3 e^{2 x} + 2$ . Alors $f^{'} (x) = 6 e^{2 x}$ et $f^{'} (0) = 6$ (on vérifie : $2 f (0) - 4 = 10 - 4 = 6$ ).
Équation harmonique y'' + ω² y = 0
On considère l'équation différentielle $(E) : y^{''} + 4 y = 0$ .
1. Donner la forme générale des solutions de $(E)$ .
2. Déterminer la solution $f$ vérifiant $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = 2$ .
3. Montrer que $f (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{4})$ et en déduire le maximum de $f$ .
Voir la correction
1. $ω^{2} = 4$ donc $ω = 2$ : les solutions sont $x \to A cos (2 x) + B sin (2 x)$ , $A, B \in R$ .
2. $f (0) = A = 1$ . $f^{'} (x) = - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)$ , donc $f^{'} (0) = 2 B = 2$ et $B = 1$ . Ainsi $f (x) = cos (2 x) + sin (2 x)$ .
3. $2 cos (2 x - \frac{π}{4}) = 2 (cos (2 x) cos (\frac{π}{4}) + sin (2 x) sin (\frac{π}{4})) = 2 (\frac{2}{2} cos (2 x) + \frac{2}{2} sin (2 x)) = cos (2 x) + sin (2 x) = f (x)$ . Comme $- 1 \leq cos (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1$ , le maximum de $f$ vaut $2$ , atteint lorsque $2 x - \frac{π}{4} = 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{8} + k π$ .
Décroissance radioactive
Le nombre $N (t)$ de noyaux d'un échantillon radioactif vérifie $N^{'} (t) = - λ N (t)$ ( $t$ en jours, $λ > 0$ ), avec $N (0) = N_{0}$ .
1. Exprimer $N (t)$ en fonction de $t$ , $λ$ et $N_{0}$ .
2. La demi-vie $T$ est la durée au bout de laquelle $N (T) = \frac{N _{0}}{2}$ . Montrer que $λ = \frac{l n 2}{T}$ .
3. Pour $T = 8$ jours, au bout de combien de jours reste-t-il $10%$ des noyaux initiaux ?
Voir la correction
1. $N^{'} = - λ N$ est du type $y^{'} = a y$ avec $a = - λ$ : $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .
2. $N (T) = \frac{N _{0}}{2}$ équivaut à $e^{- λ T} = \frac{1}{2}$ , soit $- λ T = - ln 2$ , d'où $λ = \frac{l n 2}{T}$ .
3. On cherche $t$ tel que $N (t) = \frac{N _{0}}{10}$ : $e^{- λ t} = \frac{1}{10}$ , donc $t = \frac{l n 10}{λ} = \frac{T l n 10}{l n 2} = \frac{8 l n 10}{l n 2} \approx 26, 6$ jours.
Solution particulière et solution générale
On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} + y = e^{- x}$ et la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (x) = x e^{- x}$ .
1. Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$ .
2. Montrer qu'une fonction $f$ dérivable sur $R$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f - g$ est solution de $(E^{'}) : y^{'} + y = 0$ .
3. En déduire toutes les solutions de $(E)$ , puis celle qui vérifie $f (0) = 1$ .
Voir la correction
1. $g^{'} (x) = e^{- x} - x e^{- x}$ , donc $g^{'} (x) + g (x) = e^{- x} - x e^{- x} + x e^{- x} = e^{- x}$ : $g$ est solution de $(E)$ .
2. Posons $h = f - g$ . Alors $h^{'} + h = (f^{'} + f) - (g^{'} + g) = (f^{'} + f) - e^{- x}$ . Donc $f^{'} + f = e^{- x}$ si et seulement si $h^{'} + h = 0$ .
3. Les solutions de $(E^{'})$ sont $x \to C e^{- x}$ . Donc les solutions de $(E)$ sont $f (x) = g (x) + C e^{- x} = (x + C) e^{- x}$ , $C \in R$ . $f (0) = 1$ donne $C = 1$ : $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = 3 y$ sont les fonctions :
2.
La solution de $y^{'} = - 2 y$ vérifiant $y (0) = 5$ est :
3.
Les solutions de $y^{'} = 2 y - 6$ sont les fonctions :
4.
Une solution particulière constante de $y^{'} = 4 y + 8$ est :
5.
La solution de $y^{'} = - y + 4$ telle que $y (0) = 1$ est :
6.
Les solutions sur $R$ de $y^{''} + 9 y = 0$ sont les fonctions :
7.
La solution de $y^{''} + 4 y = 0$ vérifiant $y (0) = 0$ et $y^{'} (0) = 2$ est :
8.
Une quantité radioactive vérifie $N^{'} = - λ N$ ( $λ > 0$ ) avec $N (0) = N_{0}$ . Alors $N (t) =$
9.
Une tasse refroidit selon $T^{'} = - k (T - 20)$ avec $k > 0$ . Quand $t \to + \infty$ , $T (t)$ tend vers :
10.
Les solutions de $y^{'} = cos x$ sont les fonctions :

Encore 10 questions.

Équations différentielles

Le cours

Équation y′=ay

Équation y′=ay+b (affine)

Équation harmonique y′′+ω2y=0

Problèmes à conditions initiales

Liens avec les primitives

Exercices type bac corrigés

01Équations y' = a y avec condition initiale

02Équation affine y' = a y + b

03Équation harmonique y'' + ω² y = 0

04Décroissance radioactive

05Solution particulière et solution générale

Documents

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Équation $y^{'} = a y$

Équation $y^{'} = a y + b$ (affine)

Équation harmonique $y^{''} + ω^{2} y = 0$

Équations y' = a y avec condition initiale

Équation affine y' = a y + b

Équation harmonique y'' + ω² y = 0

Décroissance radioactive

Solution particulière et solution générale