MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Mathématiques financières

Intérêts simples et composés, taux équivalents, actualisation, annuités constantes (valeur acquise, valeur actuelle), emprunt à annuités constantes et tableau d'amortissement. 2 séries d'exercices corrigés.

الرياضيات المالية : الفوائد البسيطة والمركبة، النسب المتكافئة، التحيين، الدفعات الثابتة (القيمة المكتسبة والقيمة الحالية)، القرض بدفعات ثابتة وجدول الاستهلاك.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Intérêts simples

Définition : Intérêt simple

Un capital $C$ placé au taux $t$ par période (par exemple $t = 0, 04$ pour $4%$ par an) produit à chaque période le même intérêt $I = C t$ . Après $n$ périodes, l'intérêt total est $I_{n} = C t n$ et la valeur acquise est

C_{n} = C (1 + n t) .

La suite $(C_{n})$ est arithmétique de raison $C t$ : le capital croît d'une quantité fixe à chaque période. Les intérêts ne produisent pas eux-mêmes d'intérêt.

Exemple

12 000 DH placés à $6%$ par an à intérêts simples pendant $8$ mois : la durée est $n = \frac{8}{12}$ d'année, donc $I = 12000 \times 0, 06 \times \frac{8}{12} = 480$ DH et la valeur acquise est 12 480 DH.

Propriété : Taux proportionnel

À intérêts simples, un taux annuel $t$ correspond à un taux mensuel $\frac{t}{12}$ et à un taux trimestriel $\frac{t}{4}$ : on dit que les taux sont proportionnels. Ainsi $6%$ par an équivaut à $0, 5%$ par mois.

Intérêts composés

Définition : Intérêt composé

À intérêts composés, l'intérêt de chaque période s'ajoute au capital et produit lui-même des intérêts (on dit qu'il est capitalisé). Après $n$ périodes au taux $t$ , la valeur acquise du capital $C$ est

C_{n} = C (1 + t)^{n} .

Démonstration

$C_{1} = C + C t = C (1 + t)$ ; puis $C_{2} = C_{1} (1 + t) = C (1 + t)^{2}$ ; et de proche en proche $C_{n + 1} = C_{n} (1 + t)$ . La suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $1 + t$ , d'où $C_{n} = C (1 + t)^{n}$ .

Exemple

25 000 DH placés à $3%$ par an à intérêts composés pendant $5$ ans : $C_{5} = 25000 \times 1, 0 3^{5} \approx 25000 \times 1, 15927 \approx 28981, 85$ DH. L'intérêt total est d'environ 3 981,85 DH, contre $25000 \times 0, 03 \times 5 = 3750$ DH à intérêts simples.

Retrouver une durée : le logarithme

Quand l'inconnue est le nombre de périodes $n$ , on prend le logarithme des deux membres (la fonction $ln$ est strictement croissante) :

C (1 + t)^{n} \geq A \Leftrightarrow n ln (1 + t) \geq ln (\frac{A}{C}) \Leftrightarrow n \geq \frac{ln ( \frac{A}{C} )}{ln ( 1 + t )} .

Exemple

Au bout de combien d'années un capital placé à $5%$ composé a-t-il doublé ? $1, 0 5^{n} \geq 2 \Leftrightarrow n \geq \frac{l n 2}{l n 1 , 05} \approx \frac{0 , 6931}{0 , 0488} \approx 14, 2$ : au bout de $15$ ans.

Taux équivalents

Définition : Taux équivalents

À intérêts composés, un taux mensuel $t_{m}$ et un taux annuel $t_{a}$ sont équivalents lorsqu'ils donnent la même valeur acquise au bout d'un an :

(1 + t_{m})^{12} = 1 + t_{a}, soit t_{m} = (1 + t_{a})^{\frac{1}{12}} - 1.

Exemple

Le taux mensuel équivalent à $6%$ annuel est $t_{m} = 1, 0 6^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0, 00487$ , soit environ $0, 487%$ par mois, légèrement inférieur au taux proportionnel $0, 5%$ .

Actualisation : valeur actuelle

Recevoir 10 000 DH aujourd'hui ou dans trois ans, ce n'est pas équivalent : placés dès aujourd'hui, ils rapporteraient des intérêts. L'actualisation ramène une somme future à sa valeur d'aujourd'hui.

Définition : Valeur actuelle

Au taux $t$ par période, la valeur actuelle d'une somme $V_{n}$ disponible dans $n$ périodes est le capital $V_{0}$ qu'il faudrait placer aujourd'hui pour obtenir $V_{n}$ :

V_{0} = V_{n} (1 + t)^{- n} = \frac{V _{n}}{( 1 + t ) ^{n}} .

Exemple

À $4%$ par an, la valeur actuelle de 50 000 DH disponibles dans $3$ ans est $50000 \times 1, 0 4^{- 3} \approx 50 \frac{000}{1 , 12486} \approx 44449, 82$ DH.

Annuités constantes

Définition : Annuité

Une annuité est une suite de versements égaux $a$ , effectués à intervalles réguliers (souvent en fin d'année). On note $i$ le taux par période et $n$ le nombre de versements.

Théorème : Valeur acquise d'une suite d'annuités

La valeur acquise, juste après le $n$ -ième versement de fin de période, d'une suite de $n$ annuités constantes $a$ au taux $i$ est

V_{n} = a \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i} .

Démonstration

Le premier versement est capitalisé pendant $n - 1$ périodes, le deuxième pendant $n - 2$ , … , le dernier pendant $0$ période : $V_{n} = a (1 + i)^{n - 1} + a (1 + i)^{n - 2} + \dots + a (1 + i) + a$ . C'est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q = 1 + i$ et de premier terme $a$ : $V_{n} = a \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = a \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ .

Exemple

5 000 DH versés en fin d'année pendant $6$ ans à $4%$ : $V_{6} = 5000 \times \frac{1 , 0 4 ^{6} - 1}{0 , 04} \approx 5000 \times 6, 63298 \approx 33164, 88$ DH.

Théorème : Valeur actuelle d'une suite d'annuités

La valeur actuelle (une période avant le premier versement) de $n$ annuités constantes $a$ au taux $i$ est

V_{0} = a \cdot \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i} .

Démonstration

On actualise $V_{n}$ sur $n$ périodes : $V_{0} = V_{n} (1 + i)^{- n} = a \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i} \cdot (1 + i)^{- n} = a \cdot \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}$ .

Emprunt à annuités constantes

Un emprunt de $C$ DH remboursé par $n$ annuités constantes $a$ au taux $i$ vérifie : la valeur actuelle des annuités est égale au capital emprunté.

Théorème : Annuité de remboursement

C = a \cdot \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}, d’o u ˋ a = \frac{C i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}} .

Exemple

120 000 DH empruntés sur $5$ ans à $6%$ : $a = \frac{120 000 \times 0 , 06}{1 - 1 , 0 6 ^{- 5}} \approx 7 \frac{200}{0 , 25274} \approx 28487, 57$ DH par an. Le total remboursé est $5 \times 28487, 57 \approx 142437, 85$ DH ; le coût du crédit est d'environ 22 437,85 DH.

Tableau d'amortissement

Chaque annuité se décompose en intérêt et amortissement (la part qui rembourse réellement le capital).

Propriété : Ligne du tableau

Si $K_{k - 1}$ est le capital restant dû au début de la période $k$ :

intérêt de la période : $I_{k} = i K_{k - 1}$ ;
amortissement : $m_{k} = a - I_{k}$ ;
capital restant dû : $K_{k} = K_{k - 1} - m_{k}$ . Les amortissements forment une suite géométrique de raison $1 + i$ ( $m_{k + 1} = m_{k} (1 + i)$ ) et leur somme vaut $C$ .

Exemple

Emprunt de 100 000 DH sur $4$ ans à $5%$ : $a = 5 \frac{000}{1 - 1 , 0 5 ^{- 4}} \approx 28201, 18$ DH.

Année	Capital dû	Intérêt	Amortissement	Annuité
1	100 000,00	5 000,00	23 201,18	28 201,18
2	76 798,82	3 839,94	24 361,24	28 201,18
3	52 437,58	2 621,88	25 579,30	28 201,18
4	26 858,28	1 342,91	26 858,27	28 201,18

On vérifie que $24361, 24 \approx 23201, 18 \times 1, 05$ et que la somme des amortissements vaut 100 000 DH (aux arrondis près).

Ce qu'il faut retenir

Intérêts simples : $C_{n} = C (1 + n t)$ , suite arithmétique.
Intérêts composés : $C_{n} = C (1 + t)^{n}$ , suite géométrique ; durée par le logarithme : $n \geq \frac{l n ( \frac{A}{C} )}{l n ( 1 + t )}$ .
Taux équivalents : $(1 + t_{m})^{12} = 1 + t_{a}$ .
Valeur actuelle : $V_{0} = V_{n} (1 + t)^{- n}$ .
Annuités constantes : valeur acquise $\frac{a (( 1 + i ) ^{n} - 1 )}{i}$ , valeur actuelle $\frac{a ( 1 - ( 1 + i ) ^{- n} )}{i}$ .
Emprunt : $a = C \frac{i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}$ ; intérêt $= i \times$ capital restant dû ; amortissement $= a -$ intérêt.

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Placement à intérêts composés
Un capital de 40 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de $4%$ . On note $C_{n}$ le capital acquis après $n$ années.
1. Justifier que $(C_{n})$ est une suite géométrique et exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Calculer $C_{6}$ (on donne $1, 0 4^{6} \approx 1, 26532$ ).
3. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 60 000 DH ? (On donne $ln 1, 5 \approx 0, 4055$ et $ln 1, 04 \approx 0, 0392$ .)
Voir la correction
1. Chaque année le capital est multiplié par $1, 04$ : $C_{n + 1} = 1, 04 C_{n}$ . $(C_{n})$ est géométrique de raison $1, 04$ et de premier terme $C_{0} = 40000$ , donc $C_{n} = 40000 \times 1, 0 4^{n}$ .
2. $C_{6} \approx 40000 \times 1, 26532 \approx 50612, 80$ DH.
3. $C_{n} \geq 60000 \Leftrightarrow 1, 0 4^{n} \geq 1, 5 \Leftrightarrow n \geq \frac{l n 1 , 5}{l n 1 , 04} \approx 10, 3$ . Le capital dépasse 60 000 DH à partir de la $11$ ᵉ année.
Intérêts simples ou intérêts composés ?
Un capital $C$ peut être placé soit à $5%$ par an à intérêts simples (placement A), soit à $4%$ par an à intérêts composés (placement B).
1. Exprimer en fonction de $n$ les valeurs acquises $A_{n}$ et $B_{n}$ après $n$ années.
2. Quel placement est le plus avantageux au bout de $10$ ans ? de $15$ ans ? (On donne $1, 0 4^{10} \approx 1, 4802$ et $1, 0 4^{15} \approx 1, 8009$ .)
3. Sachant que $1, 0 4^{11} \approx 1, 5395$ et $1, 0 4^{12} \approx 1, 6010$ , déterminer à partir de quelle année le placement B devient le plus avantageux.
Voir la correction
1. $A_{n} = C (1 + 0, 05 n)$ et $B_{n} = C \times 1, 0 4^{n}$ .
2. Après $10$ ans : $A_{10} = 1, 5 C$ et $B_{10} \approx 1, 4802 C$ : A est plus avantageux. Après $15$ ans : $A_{15} = 1, 75 C$ et $B_{15} \approx 1, 8009 C$ : B est plus avantageux.
3. Après $11$ ans : $A_{11} = 1, 55 C > 1, 5395 C$ ; après $12$ ans : $A_{12} = 1, 60 C < 1, 6010 C$ . Le placement B devient le plus avantageux à partir de la $12$ ᵉ année.
Épargne par annuités constantes
Une personne verse 6 000 DH à la fin de chaque année pendant $5$ ans sur un compte rémunéré à $3, 5%$ (on donne $1, 03 5^{5} \approx 1, 18769$ ).
1. Calculer la valeur acquise juste après le cinquième versement.
2. Quelle annuité constante faudrait-il verser, dans les mêmes conditions, pour disposer de 40 000 DH après le cinquième versement ?
Voir la correction
1. $V_{5} = 6000 \times \frac{1 , 03 5 ^{5} - 1}{0 , 035} \approx 6000 \times \frac{0 , 18769}{0 , 035} \approx 6000 \times 5, 3626 \approx 32175, 43$ DH.
2. $a \times \frac{1 , 03 5 ^{5} - 1}{0 , 035} = 40000$ donne $a = \frac{40 000 \times 0 , 035}{0 , 18769} \approx 1 \frac{400}{0 , 18769} \approx 7459, 11$ DH.
Emprunt à annuités constantes
Une entreprise emprunte 200 000 DH remboursables par $10$ annuités constantes de fin d'année au taux de $5%$ (on donne $1, 0 5^{- 10} \approx 0, 61391$ ).
1. Calculer l'annuité.
2. Calculer le coût total du crédit.
3. Calculer l'intérêt et l'amortissement de la première annuité, puis de la deuxième.
Voir la correction
1. $a = \frac{200 000 \times 0 , 05}{1 - 1 , 0 5 ^{- 10}} \approx 10 \frac{000}{0 , 38609} \approx 25900, 70$ DH.
2. Total remboursé : $10 \times 25900, 70 = 259007$ DH ; coût du crédit $\approx 59007$ DH.
3. Première annuité : intérêt $I_{1} = 0, 05 \times 200000 = 10000$ DH, amortissement $m_{1} = 25900, 70 - 10000 = 15900, 70$ DH. Capital restant dû : $184099, 30$ DH. Deuxième annuité : $I_{2} = 0, 05 \times 184099, 30 \approx 9204, 97$ DH et $m_{2} \approx 16695, 73$ DH (on vérifie $m_{2} \approx m_{1} \times 1, 05$ ).
Actualisation et choix entre deux offres
Une personne a le choix entre recevoir 30 000 DH aujourd'hui ou 34 000 DH dans $3$ ans.
1. Quelle offre est la plus intéressante si le taux d'actualisation est de $4%$ ? (On donne $1, 0 4^{3} = 1, 124864$ .)
2. Même question avec un taux de $5%$ ( $1, 0 5^{3} = 1, 157625$ ).
Voir la correction
1. Valeur actuelle de 34 000 DH dans $3$ ans à $4%$ : $34 \frac{000}{1 , 124864} \approx 30225, 88$ DH $> 30000$ : il vaut mieux attendre les 34 000 DH.
2. À $5%$ : $34 \frac{000}{1 , 157625} \approx 29370, 46$ DH $< 30000$ : il vaut mieux prendre les 30 000 DH aujourd'hui. Plus le taux est élevé, plus l'argent futur est « déprécié ».

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
Un capital de $20000$ DH est placé à intérêts simples au taux annuel de $6%$ pendant $9$ mois. L'intérêt produit est :
2.
À intérêts simples, la suite $(C_{n})$ des valeurs acquises $C_{n} = C (1 + n t)$ est :
3.
Un capital de $10000$ DH est placé à intérêts composés au taux annuel de $4%$ pendant $3$ ans. La valeur acquise est :
4.
Un capital placé à $5%$ composé a doublé au bout de $n$ années, avec $n \geq \frac{l n 2}{l n 1 , 05}$ . Sachant que $ln 2 \approx 0, 693$ et $ln 1, 05 \approx 0, 0488$ , le capital a doublé au bout de :
5.
À intérêts composés, un taux mensuel $t_{m}$ est équivalent au taux annuel $t_{a}$ lorsque :
6.
Au taux annuel de $10%$ , la valeur actuelle de $33275$ DH disponibles dans $3$ ans est :
7.
On verse $2000$ DH en fin d'année pendant $3$ ans au taux de $10%$ . La valeur acquise juste après le troisième versement est :
8.
Un emprunt de $C$ DH est remboursé par $n$ annuités constantes $a$ de fin d'année au taux $i$ . Alors :
9.
Une entreprise emprunte $80000$ DH à $6%$ , remboursés par des annuités constantes de $20000$ DH. L'amortissement contenu dans la première annuité est :
10.
Dans un tableau d'amortissement à annuités constantes au taux $i$ , les amortissements successifs $m_{1}, m_{2}, \dots$ forment :

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Intérêts composés

Retrouver une durée : le logarithme

Taux équivalents

Actualisation : valeur actuelle

Annuités constantes

Emprunt à annuités constantes

Tableau d'amortissement

Ce qu'il faut retenir

Exercices type bac corrigés

01Placement à intérêts composés

02Intérêts simples ou intérêts composés ?

03Épargne par annuités constantes

04Emprunt à annuités constantes

05Actualisation et choix entre deux offres

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Placement à intérêts composés

Intérêts simples ou intérêts composés ?

Épargne par annuités constantes

Emprunt à annuités constantes

Actualisation et choix entre deux offres