MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Dénombrement et probabilités

Combinatoire, probabilité, conditionnement, indépendance, variable aléatoire, loi binomiale.

التعداد والاحتمالات : التعداد، الاحتمال، الاحتمال الشرطي، الاستقلال، المتغير العشوائي والقانون الحداني.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Rappels de dénombrement

Permutations : $n!$ .
Arrangements : $A_{n}^{p} = n! / (n - p)!$ .
Combinaisons : $(p n) = n! / (p! (n - p)!)$ .
Formule du binôme : $(a + b)^{n} = \sum_{k} (k n) a^{k} b^{n - k}$ .

Probabilité

Définition

Soit $Ω$ un univers fini. Une probabilité est $P : P (Ω) \to [0, 1]$ avec $P (Ω) = 1$ et $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ si $A \cap B = \emptyset$ .

Propriété

$P (A) = 1 - P (A)$ ;
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Équiprobabilité : $P (A) = card \frac{A}{card} Ω$ .

Conditionnement et indépendance

Figure interactive : arbre de probabilités, probabilités totales et formule de Bayes

P(A)0,3P(B | A)0,8P(B | non A)0,1P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,1 = 0,31 ; P(A | B) = 0,774

Sur l’arbre, on multiplie le long d’une branche (P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)) et on additionne les branches qui mènent à B : c’est la formule des probabilités totales. La formule de Bayes remonte l’arbre : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Définition

Si $P (B) \neq = 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .

$A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

Théorème : Probabilités totales

Si $(B_{i})$ est une partition de $Ω$ avec $P (B_{i}) > 0$ :

P (A) = i \sum P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) .

Variable aléatoire

Définition

$X : Ω \to R$ avec support $x_{1}, \dots, x_{n}$ :

E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i}), V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} .

Loi binomiale

Définition

$X B (n, p)$ (loi binomiale) :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ .

Exemple

On interroge $100$ clients. La probabilité d'achat est $p = 0, 2$ . Soit $X$ le nombre d'acheteurs. $X B (100, 0, 2)$ . $E (X) = 20$ , $V (X) = 16$ , $σ \approx 4$ .

Documents

Lis le cours directement dans l'application, ou télécharge le PDF pour le consulter hors ligne.

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
Combien de comités de $3$ personnes peut-on former parmi $10$ employés ?
2.
Combien de podiums (premier, deuxième, troisième) sont possibles parmi $8$ coureurs ?
3.
Une probabilité $P$ vérifie $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ lorsque :
4.
Si $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ et $P (A \cap B) = 0, 2$ , alors $P (A \cup B)$ vaut :
5.
Si $P (A \cap B) = 0, 12$ et $P (B) = 0, 3$ , alors $P (A ∣ B)$ vaut :
6.
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si :
7.
Un magasin est livré par deux fournisseurs : $F_{1}$ fournit $60%$ du stock avec $2%$ d'articles défectueux, $F_{2}$ fournit $40%$ avec $5%$ de défectueux. La probabilité qu'un article pris au hasard soit défectueux est :
8.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $10$ et $20$ avec les probabilités $0, 5$ , $0, 3$ et $0, 2$ . Son espérance $E (X)$ vaut :
9.
Si $X$ suit la loi binomiale $B (4, 0, 5)$ , alors $P (X = 2)$ vaut :
10.
On interroge $50$ clients ; chacun achète avec la probabilité $0, 1$ , indépendamment des autres. Si $X$ est le nombre d'acheteurs, la variance $V (X)$ vaut :

Encore 10 questions.