MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Dérivation et étude des fonctions

Dérivabilité, théorème de Rolle, TAF, étude complète, asymptotes, branches paraboliques.

الاشتقاق ودراسة الدوال : قابلية الاشتقاق، مبرهنة رول، مبرهنة التزايدات المنتهية، الدراسة الكاملة لدالة، المقاربات والفروع الشلجمية.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Dérivabilité

Figure interactive : tangente et signe de la dérivée

x₀1f'(x₀) ≈ 0 : tangente horizontale (extremum possible)

La tangente au point d’abscisse x₀ a pour pente f′(x₀). Là où f′ > 0 (vert) la courbe monte, là où f′ < 0 (rouge) elle descend ; aux points où la tangente est horizontale, f change de sens de variation.

Définition

$f$ est dérivable en $a$ si $lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ existe et est finie. La limite est $f^{'} (a)$ .

Propriété : Conséquence

Si $f$ dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . La réciproque est fausse (ex. $f (x) = ∣ x ∣$ en $0$ : continue, non dérivable).

Théorèmes fondamentaux

Théorème : Théorème de Rolle

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ , avec $f (a) = f (b)$ . Alors il existe $c \in] a, b [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Théorème : Théorème des accroissements finis (TAF)

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ . Il existe $c \in] a, b [$ tel que :

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) .

Propriété : Conséquences pratiques

Si $f^{'} (x) \geq 0$ sur $I$ , $f$ est croissante.
Si $f^{'} (x) = 0$ sur $I$ (intervalle), $f$ est constante.
Si $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ sur $I$ , $∣ f (y) - f (x) ∣ \leq M ∣ y - x ∣$ (inégalité des accroissements finis — utile pour majorer).

Dérivabilité à gauche et à droite

Définition

Les dérivées à gauche et à droite :

f_{g}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}, f_{d}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} .

$f$ dérivable en $a$ ssi $f_{g}^{'} (a) = f_{d}^{'} (a)$ et égal à la dérivée.

Exemple

$f (x) = ∣ x ∣$ en $0$ : $f_{g}^{'} (0) = - 1$ , $f_{d}^{'} (0) = 1$ . Non dérivable ; point anguleux.

Dérivée d'une fonction composée (rappel)

$(g \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x))$ . Cas particuliers : $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ ; $(u)^{'} = u^{'} / (2 u)$ ; $(\frac{1}{u})^{'} = - u^{'} / u^{2}$ .

Étude complète d'une fonction

Plan (rappel 1BAC SE) :

Domaine.
Parité, périodicité.
Limites aux bornes.
Asymptotes.
Dérivée, signe, tableau de variations.
Extrema.
Points particuliers, tangentes.
Tracé.

En 2 $e$ Bac on ajoute :

Étude de la concavité via la dérivée seconde $f^{''}$ .
Détection des points d'inflexion (où $f^{''}$ change de signe).
Branches infinies plus raffinées.

Branches paraboliques

Quand $f (x) \to \pm \infty$ en $\pm \infty$ :

Si $\frac{f ( x )}{x} \to a \neq = 0$ et $f (x) - a x \to b$ finie : asymptote oblique $y = a x + b$ .
Si $\frac{f ( x )}{x} \to a$ mais $f (x) - a x \to \pm \infty$ : branche parabolique de direction $y = a x$ .
Si $\frac{f ( x )}{x} \to \pm \infty$ : branche parabolique verticale.
Si $\frac{f ( x )}{x} \to 0$ : branche parabolique horizontale.

Exemple

$f (x) = x + x$ en $+ \infty$ . $\frac{f ( x )}{x} = 1 + \frac{1}{x} \to 1$ . $f (x) - x = x \to + \infty$ . Donc *branche parabolique de direction $y = x$ * (la courbe monte « au-dessus » de la droite $y = x$ ).

Optimisation (problèmes de maximum/minimum)

Les extrema s'obtiennent :

en annulant la dérivée dans l'intérieur d'un intervalle ;
aux bornes de l'intervalle (si fermé) ;
en des points où la fonction n'est pas dérivable.

Exemple

On veut construire un rectangle de périmètre $P$ d'aire maximale. Posons côtés $x$ et $(\frac{P}{2} - x)$ . Aire $S (x) = x (\frac{P}{2} - x)$ sur $[0, \frac{P}{2}]$ . $S^{'} (x) = \frac{P}{2} - 2 x$ , annule en $x = \frac{P}{4}$ . $S$ max en $x = \frac{P}{4}$ (carré). Aire max $= \frac{P ^{2}}{16}$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
La fonction $f$ est dérivable en $a$ si :
2.
Laquelle de ces affirmations est vraie ?
3.
Le théorème de Rolle s'applique à $f$ sur $[a, b]$ si $f$ est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ et :
4.
Pour $f (x) = x^{2}$ sur $[0, 2]$ , le réel $c$ donné par le théorème des accroissements finis vérifie $f (2) - f (0) = f^{'} (c) (2 - 0)$ , donc $c$ vaut :
5.
Si $∣ f^{'} (x) ∣ \leq 3$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ , alors pour tous $x, y \in I$ :
6.
Que peut-on dire de $f (x) = ∣ x - 2∣$ au point $2$ ?
7.
La dérivée de $f (x) = x^{2} + 1$ est :
8.
Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . L'abscisse du point d'inflexion de $C_{f}$ est :
9.
Soit $f (x) = 2 x + x$ . En $+ \infty$ , $\frac{f ( x )}{x} \to 2$ et $f (x) - 2 x \to + \infty$ . La courbe admet :
10.
Le bénéfice d'une entreprise est $B (x) = - x^{2} + 40 x - 100$ pour une production $x \in [0, 40]$ . Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?

Encore 10 questions.