1ère Bac Sciences Économiques et Gestion

MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Économiques et Gestion · 1ère Bac

Suites numériques et suites financières

Suites arithmétiques et géométriques, sommes, suites financières — intérêts simples, intérêts composés, épargne par versements.

المتتاليات العددية والمتتاليات المالية : المتتاليات الحسابية والهندسية، المجاميع، المتتاليات المالية: الفوائد البسيطة والفوائد المركبة والادخار بدفعات.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition et modes de génération

Une suite réelle est une fonction $u : N \to R$ , notée $(u_{n})$ .

Mode explicite : $u_{n} = f (n)$ .
Mode récurrent : $u_{n + 1} = g (u_{n})$ avec $u_{0}$ donné.

Monotonie, majoration, minoration

Figure interactive : limite d’une suite : les termes finissent dans la bande

ε0,3À partir de n = 6, tous les termes vérifient |u_n − 3| < ε

Une suite tend vers L quand, pour n’importe quelle bande de largeur ε autour de L, tous les termes finissent par y rester à partir d’un certain rang. Réduis ε : le rang augmente, mais il existe toujours.

$(u_{n})$ est :

croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ ;
majorée par $M$ si $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ;
bornée si majorée et minorée.

Suites arithmétiques

Définition

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . Alors $u_{n} = u_{0} + n r$ et plus généralement $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

Propriété : Somme

k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2} .

Suites géométriques

Définition

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q u_{n}$ . Alors $u_{n} = u_{0} q^{n}$ .

Propriété : Somme

Si $q \neq = 1$ : $\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Applications financières

Définition : Intérêts simples

Un capital $C_{0}$ placé au taux simple $t$ par période donne après $n$ périodes : $C_{n} = C_{0} (1 + n t)$ . La suite $(C_{n})$ est arithmétique.

Définition : Intérêts composés

Un capital $C_{0}$ placé au taux composé $t$ par période donne après $n$ périodes : $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ . La suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $1 + t$ .

Exemple

$C_{0} = 10000$ DH placé à $4%$ composé annuel. Après $5$ ans : $C_{5} = 10000 \times 1, 0 4^{5} \approx 12166, 53$ DH.

Propriété : Valeur acquise d'une suite d'annuités

$n$ versements constants $a$ en fin de période, au taux $t$ :

V_{n} = a (1 + t)^{n - 1} + a (1 + t)^{n - 2} + \dots + a = a \frac{( 1 + t ) ^{n} - 1}{t} .

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Suite arithmétique
Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{3} = 11$ et $u_{8} = 26$ .
1. Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_{0}$ .
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Calculer la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}$ .
Voir la correction
1. $u_{8} = u_{3} + 5 r$ , donc $26 = 11 + 5 r$ et $r = 3$ . $u_{0} = u_{3} - 3 r = 11 - 9 = 2$ .
2. $u_{n} = u_{0} + n r = 2 + 3 n$ .
3. La somme de $21$ termes consécutifs vaut $S = 21 \times \frac{u _{0} + u _{20}}{2} = 21 \times \frac{2 + 62}{2} = 21 \times 32 = 672$ .
Suite géométrique
Soit $(v_{n})$ une suite géométrique à termes positifs telle que $v_{1} = 6$ et $v_{4} = 48$ .
1. Déterminer la raison $q$ et le premier terme $v_{0}$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Calculer $S = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{9}$ .
Voir la correction
1. $v_{4} = v_{1} q^{3}$ , donc $q^{3} = \frac{48}{6} = 8$ et $q = 2$ . $v_{0} = \frac{v _{1}}{q} = 3$ .
2. $v_{n} = v_{0} q^{n} = 3 \times 2^{n}$ .
3. $S = v_{0} \frac{1 - q ^{10}}{1 - q} = 3 \times \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \times 1023 = 3069$ .
Intérêts simples
Un capital de 20 000 DH est placé à intérêts simples au taux annuel de 4 %. On note $C_{n}$ le capital acquis après $n$ années.
1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ .
2. Montrer que $(C_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison, puis exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Quel est le capital acquis après 6 ans ? Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 30 000 DH ?
Voir la correction
1. Chaque année, l'intérêt est calculé sur le capital initial : $I = 20000 \times 0, 04 = 800$ DH. Donc $C_{1} = 20800$ DH et $C_{2} = 21600$ DH.
2. $C_{n + 1} = C_{n} + 800$ : $(C_{n})$ est arithmétique de raison $800$ et de premier terme $C_{0} = 20000$ , donc $C_{n} = 20000 + 800 n$ .
3. $C_{6} = 20000 + 4800 = 24800$ DH. $C_{n} > 30000$ équivaut à $800 n > 10000$ , soit $n > 12, 5$ : à partir de la 13ᵉ année.
Intérêts composés
Le même capital de 20 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. On note $D_{n}$ le capital acquis après $n$ années.
1. Montrer que $(D_{n})$ est une suite géométrique et exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Calculer le capital acquis après 6 ans (arrondir au centime) et comparer avec le placement à intérêts simples.
3. Au bout de combien d'années le capital initial a-t-il doublé ? (On pourra utiliser $lo g 2 \approx 0, 3010$ et $lo g 1, 04 \approx 0, 0170$ .)
Voir la correction
1. Chaque année, l'intérêt est calculé sur le capital de l'année précédente : $D_{n + 1} = D_{n} + 0, 04 D_{n} = 1, 04 D_{n}$ . $(D_{n})$ est géométrique de raison $1, 04$ et de premier terme $20000$ : $D_{n} = 20000 \times 1, 0 4^{n}$ .
2. $D_{6} = 20000 \times 1, 0 4^{6} \approx 20000 \times 1, 26532 \approx 25306, 38$ DH. À intérêts simples, on avait $24800$ DH : les intérêts composés rapportent environ $506$ DH de plus sur 6 ans.
3. $D_{n} \geq 40000$ équivaut à $1, 0 4^{n} \geq 2$ , soit $n lo g 1, 04 \geq lo g 2$ (le logarithme décimal est croissant), donc $n \geq \frac{l o g 2}{l o g 1 , 04} \approx \frac{0 , 3010}{0 , 0170} \approx 17, 7$ . Le capital a doublé au bout de 18 ans.
Épargne par versements réguliers
Chaque 1er janvier, à partir de 2026, une personne verse 3 000 DH sur un compte rémunéré à 3 % par an à intérêts composés.
1. Quelle est la valeur acquise du premier versement au 31 décembre 2026 ? Au 31 décembre 2030 ?
2. Montrer que la valeur acquise $V_{n}$ de l'ensemble des versements, au 31 décembre de la $n$ ᵉ année, vaut $V_{n} = 3000 \times 1, 03 \times \frac{1 , 0 3 ^{n} - 1}{0 , 03}$ .
3. Calculer $V_{5}$ (arrondir au dirham).
Voir la correction
1. Un versement placé $k$ années devient $3000 \times 1, 0 3^{k}$ . Au 31 décembre 2026 (1 an) : $3000 \times 1, 03 = 3090$ DH. Au 31 décembre 2030 (5 ans) : $3000 \times 1, 0 3^{5} \approx 3477, 82$ DH.
2. Au 31 décembre de la $n$ ᵉ année, le $k$ ᵉ versement a été placé $n - k + 1$ années. La valeur acquise totale est $V_{n} = 3000 (1, 03 + 1, 0 3^{2} + \dots + 1, 0 3^{n})$ , somme de $n$ termes d'une suite géométrique de raison $1, 03$ et de premier terme $1, 03$ : $V_{n} = 3000 \times 1, 03 \times \frac{1 , 0 3 ^{n} - 1}{1 , 03 - 1}$ .
3. $1, 0 3^{5} \approx 1, 15927$ , donc $V_{5} \approx 3000 \times 1, 03 \times \frac{0 , 15927}{0 , 03} \approx 3000 \times 5, 4684 \approx 16405$ DH.
Monotonie et encadrement
Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier $n \geq 0$ par $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$ .
1. Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. Montrer que $u_{n} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ et en déduire que $1 \leq u_{n} < 2$ .
3. Étudier la monotonie de $(u_{n})$ .
Voir la correction
1. $u_{0} = 1$ , $u_{1} = \frac{3}{2}$ , $u_{2} = \frac{5}{3}$ .
2. $2 - \frac{1}{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 ) - 1}{n + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 1} = u_{n}$ . Comme $0 < \frac{1}{n + 1} \leq 1$ , on obtient $1 \leq 2 - \frac{1}{n + 1} < 2$ .
3. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ : la suite est strictement croissante (et majorée par $2$ ).

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n$ :
2.
Soit $(u_{n})$ arithmétique avec $u_{1} = 3$ et $r = 5$ . Alors $u_{10}$ vaut :
3.
Avec la même suite ( $u_{1} = 3$ , $r = 5$ ), la somme $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{20}$ vaut :
4.
Soit $(v_{n})$ géométrique avec $v_{0} = 3$ et $q = 2$ . Alors $v_{4}$ vaut :
5.
La somme $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$ vaut :
6.
Un capital de $5000$ DH est placé à intérêts simples au taux de $3%$ par an. Après $8$ ans, il vaut :
7.
Un capital placé à intérêts composés au taux $t$ par période forme une suite $(C_{n})$ :
8.
$10000$ DH placés à $4%$ à intérêts composés valent, après $2$ ans :
9.
La valeur acquise par $n$ versements constants $a$ en fin de période, au taux $t$ , est :
10.
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ . Alors $u_{2}$ vaut :

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01Suite arithmétique

02Suite géométrique

03Intérêts simples

04Intérêts composés

05Épargne par versements réguliers

06Monotonie et encadrement

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Intérêts composés

Épargne par versements réguliers

Monotonie et encadrement