MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Fonctions logarithmiques

Fonction logarithme népérien et décimal, propriétés, dérivée, études de fonctions.

الدوال اللوغاريتمية : الدالة اللوغاريتمية النيبيرية والعشرية، الخاصيات الجبرية، المشتقة، دراسة الدوال اللوغاريتمية.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Fonction logarithme népérien

Figure interactive : exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x

a0,7(a ; e^a) = (0,7 ; 2,01) sur exp, et (e^a ; a) = (2,01 ; 0,7) sur ln

exp est la réciproque de ln : les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Le point (a ; eᵃ) de la courbe de exp a pour symétrique le point (eᵃ ; a) de la courbe de ln.

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0, + \infty [$ comme la primitive de $x ∣ \to \frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ . Ainsi $ln (1) = 0$ et $(ln)^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

Propriété : Propriétés algébriques

Pour tous $x, y > 0$ et $α \in R$ :

$ln (x y) = ln x + ln y$ ;
$ln (\frac{x}{y}) = ln x - ln y$ ;
$ln (x^{α}) = α ln x$ ;
$ln (x) = (\frac{1}{2}) ln x$ .

Étude de $ln$

Figure interactive : croissance comparée : ln x / x tend vers 0

x4,5f(x) ≈ 0,334

ln x grandit beaucoup moins vite que x : le quotient ln x / x tend vers 0 en +∞ (asymptote horizontale y = 0), après un maximum en x = e.

$ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ , avec :

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim ln x = + \infty.

Le nombre $e \approx 2, 718$ vérifie $ln (e) = 1$ .

Propriété : Limites usuelles

$lim_{x \to + \infty} \frac{l n ( x )}{x} = 0$ (croissance comparée) ;
$lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ ;
$lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1$ .

Dérivée

Propriété

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
$(ln u)^{'} = u^{'} / u$ (si $u > 0$ ).

Exemple

Dériver $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ : $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Logarithme décimal

Définition

Le logarithme décimal est $lo g x = ln \frac{x}{l n} 10$ . On a $lo g (10) = 1$ et les mêmes propriétés algébriques que $ln$ .

Étude d'une fonction avec $ln$

Pour étudier $f (x) = ln x - x$ :

Domaine : $] 0, + \infty [$ .
Dérivée : $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ . Positive sur $] 0, 1]$ , négative sur $[1, + \infty [$ .
Maximum en $1$ : $f (1) = - 1$ .
Limites : $f (x) \to - \infty$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .

Donc $f (x) < 0$ pour tout $x > 0$ : $ln x < x$ partout, une inégalité utile.

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0/10 répondues

1.
La fonction $ln$ est définie sur $] 0, + \infty [$ comme :
2.
$ln 8 - ln 2$ est égal à :
3.
$ln (\frac{1}{e})$ vaut :
4.
$lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x}$ vaut :
5.
L'équation $ln x = 2$ a pour solution :
6.
La dérivée de $f (x) = ln (3 x + 1)$ sur $] - \frac{1}{3}, + \infty [$ est :
7.
Le domaine de définition de $f (x) = ln (x - 2)$ est :
8.
Le logarithme décimal $lo g 1000$ vaut :
9.
Le maximum de $f (x) = ln x - x$ sur $] 0, + \infty [$ vaut :
10.
L'inéquation $ln x < 0$ a pour ensemble de solutions :

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