MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Suites numériques (convergence + finance)

Convergence des suites, limites, applications aux intérêts composés et aux annuités.

المتتاليات العددية (التقارب والرياضيات المالية) : تقارب المتتاليات، النهايات، تطبيقات على الفوائد المركبة والدفعات الثابتة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Convergence

Figure interactive : limite d’une suite : les termes finissent dans la bande

ε0,3À partir de n = 11, tous les termes vérifient |u_n − 2| < ε

Une suite tend vers L quand, pour n’importe quelle bande de largeur ε autour de L, tous les termes finissent par y rester à partir d’un certain rang. Réduis ε : le rang augmente, mais il existe toujours.

Définition

La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si pour tout $ε > 0$ , il existe $N \in N$ tel que : $n \geq N \Rightarrow ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε$ . On note $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ .

Propriété : Opérations

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ :

$u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ ;
$u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}$ ;
si $ℓ^{'} \neq = 0$ , $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ}^{'}$ .

Limites usuelles

Propriété

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n ^{k}} = 0$ pour tout $k > 0$ .
Suite géométrique $u_{n} = q^{n}$ :

$∣ q ∣ < 1$ : $u_{n} \to 0$ ;
$q = 1$ : $u_{n} = 1$ ;
$q > 1$ : $u_{n} \to + \infty$ ;
$q \leq - 1$ : divergente.

Théorème : Convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes

Définition

Deux suites $(u_{n}), (v_{n})$ sont adjacentes si $(u_{n})$ croît, $(v_{n})$ décroît, et $v_{n} - u_{n} \to 0$ . Alors elles convergent vers la même limite.

Applications financières

Propriété : Capitalisation composée

$C_{0}$ placé au taux composé $t$ par période pendant $n$ périodes :

C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n} .

$(C_{n})$ est géométrique de raison $1 + t > 1$ , donc $C_{n} \to + \infty$ .

Propriété : Actualisation

La valeur actuelle d'un capital $F$ disponible dans $n$ périodes, au taux $t$ , est :

V_{0} = \frac{F}{( 1 + t ) ^{n}} = F (1 + t)^{- n} .

Propriété : Annuités constantes

$n$ versements constants $a$ en fin de période, taux $t$ :

valeur acquise (après $n$ versements) : $V_{n} = a \frac{( 1 + t ) ^{n} - 1}{t}$ ;
valeur actuelle : $V_{0} = a \frac{1 - ( 1 + t ) ^{- n}}{t}$ .

Exemple type

Figure interactive : suite récurrente : escalier vers le point fixe

u₀0,5u₀ = 0,5

Pour u(n+1) = u(n)/2 + 2 : l’escalier construit à partir de u₀ converge vers le point fixe 4, intersection de la droite y = x/2 + 2 et de y = x.

Exemple

Pour acheter un bien à $200000$ DH, combien verser chaque année pendant $10$ ans au taux $5%$ ? $V_{0} = a \frac{1 - 1 , 0 5 ^{- 10}}{0 , 05}$ , donc $a = V_{0} \times \frac{0 , 05}{1 - 1 , 0 5 ^{- 10}} \approx 200000 \times 0, 1295 \approx 25905$ DH par an.

Documents

Lis le cours directement dans l'application, ou télécharge le PDF pour le consulter hors ligne.

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ signifie : pour tout $ε > 0$ , il existe $N \in N$ tel que :
2.
La suite $u_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$ a pour limite :
3.
Parmi ces suites, laquelle converge vers $0$ ?
4.
Si $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ et $v_{n} = 3 - \frac{1}{n ^{2}}$ , alors $\frac{u _{n}}{v _{n}}$ tend vers :
5.
Une suite croissante et majorée par $10$ :
6.
Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si $(u_{n})$ est croissante, $(v_{n})$ est décroissante et :
7.
Un capital de $10000$ DH est placé à $5%$ à intérêts composés pendant $2$ ans. La valeur acquise est :
8.
Au taux de $10%$ par an, la valeur actuelle de $12100$ DH disponibles dans $2$ ans est :
9.
La valeur acquise juste après $n$ versements constants $a$ effectués en fin de période au taux $t$ est :
10.
Quel versement annuel constant $a$ faut-il faire pendant $2$ ans, au taux de $10%$ , pour disposer de $2100$ DH juste après le second versement ?

Encore 10 questions.