MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Économiques · 2ème Bac

Limites et continuité

Limites rigoureuses, théorème des gendarmes, continuité, TVI, fonctions continues sur un segment.

النهايات والاتصال : النهايات وتعريفها الدقيق، مبرهنة الدركيين، الاتصال، مبرهنة القيم الوسيطية، الدوال المتصلة على قطعة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Rappels et approfondissement des limites

Figure interactive : limite en +∞ et asymptotes

x−1,05f(x) ≈ 0,537

Quand x grandit, f(x) = (2x + 1)/(x − 1) se rapproche de 2 : la droite y = 2 est asymptote horizontale. Près de x = 1, la courbe part vers l’infini le long de l’asymptote verticale x = 1.

Les limites ont été introduites en 1 $e ˋ re$ Bac ; on les reprend plus rigoureusement.

Définition : Limite en un point (version précisée)

Soient $f$ définie sur un voisinage de $a \in R$ et $ℓ \in R$ . $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ signifie : pour tout $ε > 0$ , il existe $η > 0$ tel que $∣ x - a ∣ < η \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$ .

Définition : Limite en l'infini

$lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ signifie : pour tout $ε > 0$ , il existe $A > 0$ tel que $x > A \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$ .

Théorème des gendarmes (encadrement)

Théorème : Théorème des gendarmes

Soient $f, g, h$ trois fonctions et $a \in R \cup \pm \infty$ . Si, sur un voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ) :

g (x) \leq f (x) \leq h (x),

et $lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = ℓ$ , alors $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ .

Exemple

$lim_{x \to + \infty} \frac{s i n x}{x}$ : $- \frac{1}{x} \leq \frac{s i n x}{x} \leq \frac{1}{x}$ , et $lim \pm \frac{1}{x} = 0$ . Donc $lim \frac{s i n x}{x} = 0$ .

Continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si $a \in D_{f}$ et $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Propriété

Toute fonction construite par somme, produit, quotient (hors zéro du dénominateur), composition de fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, racine, trigonométriques, exp, ln) est continue sur son domaine.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Figure interactive : théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie

Étape 0 : α ∈ [0 ; 1], largeur 1milieu m = 0,5, f(m) < 0 : on garde [a ; m]

f est continue sur [0 ; 1] et f(0) f(1) < 0 : l’équation f(x) = 0 a une solution α dans ]0 ; 1[. À chaque étape on coupe l’intervalle en deux et on garde la moitié où f change de signe : la largeur est divisée par 2, α est encadré de plus en plus finement.

Théorème : TVI

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Théorème : Corollaire — existence d'un zéro

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f (a) \times f (b) < 0$ , alors $f$ admet au moins une racine dans $] a, b [$ . Si de plus $f$ est strictement monotone, cette racine est unique.

Exemple

$f (x) = x^{3} + x - 1$ . $f (0) = - 1 < 0$ , $f (1) = 1 > 0$ . $f$ est continue et strictement croissante (car $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ ). Donc l'équation $f (x) = 0$ a une unique solution dans $] 0, 1 [$ .

Fonctions continues sur un segment

Théorème

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_{m}, x_{M} \in [a, b]$ tels que $f (x_{m}) \leq f (x) \leq f (x_{M})$ pour tout $x \in [a, b]$ . Conséquence : l'image $f ([a, b])$ est un segment $[m, M]$ .

Composition et limites

Théorème : Limite d'une composée

Si $lim_{x \to a} u (x) = b$ et $lim_{y \to b} f (y) = ℓ$ , alors $lim_{x \to a} f (u (x)) = ℓ$ .

Exemple

$lim_{x \to 0} cos (x^{2}) = cos (0) = 1$ (cos continue).

Prolongement par continuité

Figure interactive : continuité en 1

Saut en 1 : pas continue

Trou en 1 : prolongement

Valeur donnée en 1 :1: il reste un trou (la limite vaut 2)

À gauche, la fonction saute en 1 : elle n’est pas continue. À droite, il manque seulement le point d’abscisse 1 ; en lui donnant la valeur de la limite, la courbe se referme : c’est le prolongement par continuité.

Si $f$ est définie sur un voisinage épointé de $a$ et admet une limite finie $ℓ$ en $a$ , on peut prolonger $f$ par continuité en posant $f ~ (a) = ℓ$ .

Exemple

$f (x) = \frac{s i n ( x )}{x}$ définie sur $R^{*}$ : $lim_{x \to 0} f (x) = 1$ . Prolongement : $f ~ (0) = 1$ , continue sur $R$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Dire que $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ signifie : pour tout $ε > 0$ , il existe $A > 0$ tel que :
2.
Par le théorème des gendarmes, $lim_{x \to + \infty} \frac{c o s x}{x}$ vaut :
3.
Pour appliquer le théorème des gendarmes à $f$ en $a$ , on a besoin d'un encadrement $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ au voisinage de $a$ et de :
4.
Soit $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ pour $x \neq = 2$ et $f (2) = k$ . Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
5.
La fonction $f$ est continue en $a$ signifie :
6.
Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $f (a) \times f (b) < 0$ . Alors l'équation $f (x) = 0$ :
7.
Soit $f (x) = x^{3} + x - 3$ . Sur lequel de ces intervalles le TVI garantit-il une racine de $f$ ?
8.
L'image du segment $[- 1, 2]$ par $f (x) = x^{2}$ est :
9.
Par composition, $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x + 3}$ vaut :
10.
Soit $f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x}$ définie sur $R^{*}$ . Son prolongement par continuité en $0$ prend en $0$ la valeur :

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