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Le produit vectoriel

Définition, propriétés (antisymétrie, bilinéarité), expression analytique, applications (aires, volumes).

الجداء المتجهي : تعريف الجداء المتجهي، خاصياته (التخالف والثنائية الخطية)، الصيغة التحليلية، تطبيقات على حساب المساحات والحجوم.

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Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition

Le produit vectoriel $u \land v$ (ou $u \times v$ ) de deux vecteurs de l'espace est le vecteur :

orthogonal à la fois à $u$ et à $v$ ;
de norme $∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times ∣ sin (u, v) ∣$ ;
de sens donné par la règle de la main droite (orientation directe). Par convention, $u \land v = 0$ si $u$ et $v$ sont colinéaires.

Expression analytique

Théorème

En repère orthonormé direct, si $u (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ et $v (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

u \land v = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) .

Propriétés algébriques

Propriété

Antisymétrie : $v \land u = - (u \land v)$ .
Bilinéarité : $(u_{1} + u_{2}) \land v = u_{1} \land v + u_{2} \land v$ , et $(k u) \land v = k (u \land v)$ .
$u \land u = 0$ .
$u \land v = 0 \Leftrightarrow u, v$ colinéaires.
Le produit vectoriel n'est pas associatif en général.

Applications géométriques

Aire d'un parallélogramme

Théorème

L'aire du parallélogramme construit sur $u, v$ vaut $∣∣ u \land v ∣∣$ . L'aire du triangle d'un sommet avec les deux vecteurs adjacents vaut $∣∣ u \land v ∣∣/2$ .

Produit mixte et volume

Définition : Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs $u, v, w$ est le scalaire $(u \land v) \cdot w$ , souvent noté $[u, v, w]$ ou $det (u, v, w)$ .

Théorème

$∣ [u, v, w] ∣$ est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs. Le volume du tétraèdre de même sommet est $∣ [u, v, w] ∣/6$ .

Vecteur normal à un plan

Propriété

Si $A B$ et $A C$ sont deux vecteurs d'un plan $(P)$ , alors $n = A B \land A C$ est normal à $(P)$ .

Ceci donne une méthode directe pour obtenir le vecteur normal à un plan défini par trois points.

Exemples de calcul

Exemple

$u (1, 2, 3), v (4, 5, 6)$ : $u \land v = (2 \times 6 - 3 \times 5, 3 \times 4 - 1 \times 6, 1 \times 5 - 2 \times 4) = (- 3, 6, - 3)$ . $∣∣ u \land v ∣∣ = 9 + 36 + 9 = 54 = 36$ .

Exemple

Triangle $A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1)$ : $A B (- 1, 1, 0), A C (- 1, 0, 1)$ . Produit vectoriel $(1, 1, 1)$ . Aire du triangle : $∣∣ n ∣∣/2 = \frac{3}{2}$ .

Documents

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0/10 répondues

1.
La norme du produit vectoriel $u \land v$ vaut :
2.
En repère orthonormé direct, avec $u (1; 0; 2)$ et $v (2; 1; - 1)$ , le vecteur $u \land v$ a pour coordonnées :
3.
Pour tous vecteurs $u, v$ , le vecteur $v \land u$ est égal à :
4.
Pour tout vecteur $u$ , le produit $u \land u$ vaut :
5.
Avec $u (1; 0; 2)$ et $v (2; 1; - 1)$ , on a $u \land v = (- 2; 5; 1)$ . L'aire du triangle construit sur $u$ et $v$ vaut :
6.
Avec les mêmes vecteurs et $w (1; 1; 1)$ , le volume du tétraèdre construit sur $u, v, w$ vaut :
7.
L'égalité $u \land v = 0$ signifie que :
8.
Soit $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ . Avec $A B \land A C = (1; 1; 1)$ , le plan $(A B C)$ a pour équation :
9.
Parmi ces égalités, laquelle est vraie pour tous vecteurs $u, v, w$ ?
10.
Si $∣∣ u ∣∣ = 2$ , $∣∣ v ∣∣ = 3$ et l'angle $(u, v)$ vaut $\frac{π}{6}$ , alors $∣∣ u \land v ∣∣$ vaut :

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