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Les suites numériques

Définition, monotonie, suites arithmétiques, suites géométriques, sommes, majoration/minoration.

المتتاليات العددية : تعريف المتتالية، الرتابة، المتتاليات الحسابية والهندسية، المجاميع، المتتاليات المكبورة والمصغورة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition et notation

Définition : Suite numérique

Une suite numérique est une fonction $u$ définie sur $N$ (ou un sous-ensemble de la forme $n_{0}, n_{0} + 1, \dots$ ) à valeurs dans $R$ . On note $u_{n}$ l'image de $n$ , appelée le terme d'indice $n$ . La suite elle-même se note $(u_{n})_{n \in N}$ ou simplement $(u_{n})$ .

Exemple

$u_{n} = 2 n + 1$ : $u_{0} = 1, u_{1} = 3, u_{2} = 5, \dots$ (nombres impairs).
$v_{n} = \frac{1}{n}$ défini pour $n \geq 1$ .
$w_{n}$ défini par $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = 2 w_{n}$ (récurrence).

Modes de définition

Propriété

Une suite peut être définie :

par son expression explicite $u_{n} = f (n)$ ;
par une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec un premier terme donné ;
par une description (la $n$ -ième décimale de $π$ , etc.).

Sens de variation

Définition

Une suite $(u_{n})$ est :

croissante si $\forall n, u_{n + 1} \geq u_{n}$ ;
strictement croissante si $\forall n, u_{n + 1} > u_{n}$ ;
décroissante / strictement décroissante : inégalités inversées ;
constante si $\forall n, u_{n + 1} = u_{n}$ ;
monotone si elle est croissante ou décroissante.

Propriété : Méthodes standards

Pour étudier la monotonie :

Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Si les termes sont strictement positifs, comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Si $u_{n} = f (n)$ avec $f$ définie sur $[0, + \infty [$ monotone : la suite a le même sens de variation.

Exemple

$u_{n} = n^{2} - 3 n$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - 3 (n + 1) - n^{2} + 3 n = 2 n + 1 - 3 = 2 n - 2$ . Positif pour $n \geq 1$ .

$u_{0} = 0, u_{1} = - 2$ : décroissante de $u_{0}$ à $u_{1}$ .
À partir de $n = 1$ , croissante.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r \in R$ si :

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r .

Théorème : Expression explicite

Si $(u_{n})$ arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ :

u_{n} = u_{0} + n r,

et plus généralement $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ pour tout $p \in N$ .

Théorème : Somme des termes

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2} .

Plus généralement, pour une somme de $k$ termes consécutifs : $\sum = k \times \frac{premier + dernier}{2}$ .

Démonstration

Idée de la démonstration. Écrire la somme dans les deux sens et additionner terme à terme : chaque paire somme à $u_{0} + u_{n}$ , et il y en a $n + 1$ .

Exemple

$1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q \in R$ si :

\forall n \in N, u_{n + 1} = q \times u_{n} .

Théorème : Expression explicite

Si $(u_{n})$ géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$ :

u_{n} = u_{0} \times q^{n} .

Théorème : Somme des termes (q ≠ 1)

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .

Si $q = 1$ , tous les termes valent $u_{0}$ , donc la somme vaut $(n + 1) u_{0}$ .

Exemple

Somme des $n + 1$ premières puissances de $2$ : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1$ .

Majoration et minoration

Figure interactive : limite d’une suite : les termes finissent dans la bande

ε0,3À partir de n = 6, tous les termes vérifient |u_n − 3| < ε

Une suite tend vers L quand, pour n’importe quelle bande de largeur ε autour de L, tous les termes finissent par y rester à partir d’un certain rang. Réduis ε : le rang augmente, mais il existe toujours.

Définition

Une suite $(u_{n})$ est :

majorée s'il existe $M \in R$ tel que $\forall n, u_{n} \leq M$ ;
minorée s'il existe $m \in R$ tel que $\forall n, u_{n} \geq m$ ;
bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple

$(u_{n}) = ((- 1)^{n})$ est bornée : $- 1 \leq u_{n} \leq 1$ .
$(u_{n}) = (n)$ est minorée par $0$ , non majorée.
$(u_{n}) = (\frac{1}{n})_{n \geq 1}$ est bornée : $0 < u_{n} \leq 1$ .

Propriété

Une suite géométrique $(u_{n}) = (u_{0} q^{n})$ avec $u_{0} > 0$ et $q > 0$ :

Si $q > 1$ : strictement croissante, non majorée.
Si $0 < q < 1$ : strictement décroissante, minorée par $0$ .
Si $q = 1$ : constante.

Étude pratique d'une suite

Figure interactive : suite récurrente : escalier vers le point fixe

u₀0,5u₀ = 0,5

Pour u(n+1) = u(n)/2 + 2 : on part de u₀, on monte jusqu’à la courbe (u₁), on revient sur y = x pour reporter u₁ sur l’axe, et on recommence. L’escalier converge vers le point fixe 4, intersection de la droite y = x/2 + 2 et de y = x.

On combine :

calcul explicite éventuel ;
variation ;
majoration / minoration ;
premiers termes numériques ;
interprétation (croissance démographique, intérêts, etc.).

Exemple

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}$ . Calcul : $u_{1} = 2, u_{2} = \frac{5}{2}, u_{3} = \frac{11}{4}, \dots$

On conjecture $u_{n} \in [1, 3]$ et $(u_{n})$ croissante.

Monotonie : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n} + 3}{2} - u_{n} = \frac{3 - u _{n}}{2}$ . Positif ssi $u_{n} < 3$ .

Encadrement : si $u_{n} \in [1, 3]$ , alors $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}$ appartient à $[2, 3] \subset [1, 3]$ . Comme $u_{0} = 1 \in [1, 3]$ , on a par une vérification immédiate que $u_{n} \in [1, 3]$ pour tout $n$ .

D'où $(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$ .

Documents

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0/10 répondues

1.
La suite définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{n} + n$ est :
2.
Soit $u_{n} = n^{2} - 5 n$ . La suite $(u_{n})$ est :
3.
Pour étudier la monotonie en comparant $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ , il faut d'abord vérifier que :
4.
Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 7$ et a pour raison $r = - 2$ . Alors $u_{10}$ vaut :
5.
La somme $3 + 7 + 11 + \dots + 43$ vaut :
6.
Une suite géométrique a pour premier terme $u_{0} = 3$ et pour raison $q = 2$ . Alors $u_{5}$ vaut :
7.
La somme $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{6}$ vaut :
8.
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ . Alors $u_{3}$ vaut :
9.
La suite $u_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ est :
10.
Soit $(u_{n})$ géométrique avec $u_{0} > 0$ et $0 < q < 1$ . Alors $(u_{n})$ est :

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