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Ensembles et applications

Définition formelle, opérations sur les ensembles, applications (injection, surjection, bijection), image directe et réciproque.

المجموعات والتطبيقات : التعريف الصوري للمجموعة، العمليات على المجموعات، التطبيقات التباينية والشمولية والتقابلية، الصورة المباشرة والصورة العكسية.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Ensembles

Définition

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note $x \in E$ si $x$ est élément de $E$ , $x \in / E$ sinon. Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments.

Définition : Sous-ensemble

$A$ est inclus dans $B$ (ou sous-ensemble), noté $A \subseteq B$ , si tout élément de $A$ est élément de $B$ . L'ensemble vide $\emptyset$ est sous-ensemble de tout ensemble. L'ensemble des parties de $E$ est noté $P (E)$ .

Opérations sur les ensembles

Définition

Intersection : $A \cap B = x ∣ x \in A et x \in B$ .
Réunion : $A \cup B = x ∣ x \in A ou x \in B$ .
Différence : $A ∖ B = x ∣ x \in A et x \in / B$ .
Complément (dans un ensemble $E$ ) : $co m pl e m e n t_{E} A = E ∖ A$ .
Produit cartésien : $A \times B = (a, b) ∣ a \in A, b \in B$ .

Propriété : Lois fondamentales

Commutativité : $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$ .
Associativité.
Distributivité : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (et symétrique).
De Morgan : $co m pl e m e n t (A \cup B) = co m pl e m e n t A \cap co m pl e m e n tB$ , $co m pl e m e n t (A \cap B) = co m pl e m e n t A \cup co m pl e m e n tB$ .

Applications

Définition

Une application $f : E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique élément $f (x) \in F$ . $E$ est l'ensemble de départ, $F$ d'arrivée. Deux applications sont égales si elles ont même départ, même arrivée et mêmes valeurs.

Définition : Injection, surjection, bijection

Soit $f : E \to F$ .

$f$ est injective si : $\forall x, x^{'} \in E, f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow x = x^{'}$ .
$f$ est surjective si : $\forall y \in F, \exists x \in E, f (x) = y$ .
$f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Exemple

$f (x) = x + 3$ sur $R \to R$ : bijective.
$f (x) = x^{2}$ sur $R \to R$ : ni injective ( $f (- 1) = f (1)$ ) ni surjective (pas de $x$ avec $f (x) = - 1$ ).
$f (x) = x^{2}$ sur $R_{+} \to R_{+}$ : bijective.

Image directe, image réciproque

Définition

Soient $f : E \to F$ , $A \subseteq E$ , $B \subseteq F$ .

Image directe : $f (A) = f (x) ∣ x \in A$ .
Image réciproque : $f^{- 1} (B) = x \in E ∣ f (x) \in B$ .

Attention : $f^{- 1}$ dans cette notation ne suppose pas que $f$ est bijective. Si $f$ l'est, alors $f^{- 1}$ désigne aussi l'application réciproque.

Composition, application réciproque

Définition

Composition : $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ pour $f : E \to F$ et $g : F \to G$ .
Si $f : E \to F$ est bijective, son application réciproque $f^{- 1} : F \to E$ est définie par $f^{- 1} (y) = x \Leftrightarrow f (x) = y$ . Elle vérifie $f \circ f^{- 1} = i d_{F}$ et $f^{- 1} \circ f = i d_{E}$ .

Propriété

Si $f, g$ sont bijectives, $g \circ f$ aussi, et $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

Documents

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0/10 répondues

1.
La différence $A ∖ B$ est l'ensemble des $x$ tels que :
2.
Dans un ensemble $E$ , le complémentaire de $A \cup B$ est :
3.
Si $A = {1; 2}$ et $B = {a; b; c}$ , le produit cartésien $A \times B$ possède :
4.
Une application $f : E \to F$ est injective si :
5.
L'application $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ est :
6.
L'application $g : R_{+} \to R_{+}$ , $g (x) = x^{2}$ est :
7.
Pour $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , l'image réciproque $f^{- 1} ([0, 4])$ est :
8.
La notation $f^{- 1} (B)$ pour l'image réciproque d'une partie $B$ de $F$ :
9.
Si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $(g \circ f)^{- 1}$ vaut :
10.
Soient $f (x) = x + 3$ et $g (x) = 2 x$ sur $R$ . Alors $(g \circ f) (x)$ vaut :

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