MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Mathématiques · 1ère Bac

Produit scalaire dans l'espace

Définition, bilinéarité, expression analytique, orthogonalité, équations de plans via vecteur normal.

الجداء السلمي في الفضاء : تعريف الجداء السلمي في الفضاء، الثنائية الخطية، الصيغة التحليلية، التعامد، معادلات المستويات بواسطة متجهة منظمية.

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Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition et expression analytique

Définition

Pour deux vecteurs $u, v$ de l'espace :

u \cdot v = ∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times cos (u, v) .

En repère orthonormé $(O, i, j, k)$ avec $u (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ et $v (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} .

Propriétés

Propriété

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ .
Bilinéarité : $(u + w) \cdot v = u \cdot v + w \cdot v$ ; $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ .
Carré scalaire : $u \cdot u = ∣∣ u ∣ ∣^{2}$ .
Orthogonalité : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $∣ u \cdot v ∣ \leq ∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣$ .

Vecteur normal à un plan

Définition

Un vecteur $n$ est normal à un plan $(P)$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $(P)$ . En pratique : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Théorème : Équation cartésienne du plan

En repère orthonormé, le plan passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation :

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0,

soit $a x + b y + cz + d = 0$ avec $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ .

Distance d'un point à un plan

Théorème

La distance du point $M (x_{M}, y_{M}, z_{M})$ au plan $a x + b y + cz + d = 0$ (avec $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ ) est :

d (M, P) = ∣ a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d ∣/ a^{2} + b^{2} + c^{2} .

Équation d'une sphère

Théorème

La sphère de centre $Ω (a, b, c)$ et rayon $R > 0$ a pour équation :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2},

ou après développement $x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0$ (forme générale, sphère ssi discriminant approprié $> 0$ ).

Projection orthogonale

Définition

Le projeté orthogonal du point $M$ sur un plan $(P)$ (resp. sur une droite $(D)$ ) est le point $H$ de $(P)$ (resp. $(D)$ ) tel que $(M H) ⊥ (P)$ (resp. $(M H) ⊥ (D)$ ).

Le projeté sur une droite passant par $A$ de vecteur directeur $u$ :

H = A + \frac{A M \cdot u}{∣∣ u ∣ ∣ ^{2}} \times u .

Applications

Exemple

Calcul d'un angle entre un plan et une droite : l'angle est le complément de l'angle entre la droite et le vecteur normal au plan. $sin θ = ∣ u \cdot n ∣/ (∣∣ u ∣∣∣∣ n ∣∣)$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Si $∣∣ u ∣∣ = 2$ et $∣∣ v ∣∣ = 3$ , alors d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $u \cdot v$ appartient à :
2.
Le plan passant par $A (1; - 1; 2)$ et de vecteur normal $n (3; 0; - 1)$ a pour équation :
3.
Un vecteur $n$ est normal à un plan $(P)$ dès qu'il est orthogonal à :
4.
La distance du point $M (2; - 1; 0)$ au plan $(P) : 2 x + 2 y - z + 3 = 0$ vaut :
5.
La sphère de centre $Ω (1; 0; - 2)$ et de rayon $2$ a pour équation :
6.
L'angle $θ$ entre une droite de vecteur directeur $u$ et un plan de vecteur normal $n$ vérifie :
7.
Soit $A (0; 0; 0)$ , $u (1; 1; 0)$ et $M (2; 0; 3)$ . Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur la droite $(A, u)$ est :
8.
Les vecteurs $u (1; 2; 2)$ et $v (2; - 1; 0)$ sont :
9.
Si $u \cdot v = 3$ et $∣∣ v ∣∣ = 2$ , alors $(2 u - v) \cdot v$ vaut :
10.
L'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ est celle d'une sphère :

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