MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Mathématiques · 1ère Bac

Dénombrement

Principes additif et multiplicatif, arrangements, combinaisons, binôme de Newton.

التعداد : المبدأ الجمعي والمبدأ الجدائي، الترتيبات بتكرار وبدون تكرار، التأليفات وحدانية نيوتن.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Principes fondamentaux

Propriété : Principe multiplicatif (produit)

Si une procédure se réalise en $k$ étapes successives avec $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ choix à chaque étape, alors le nombre total d'issues est $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$ .

Propriété : Principe additif

Si un objet peut être obtenu par $k$ méthodes mutuellement exclusives comptant $n_{1}, \dots, n_{k}$ issues, le total vaut $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}$ .

Exemple

Codes à 4 chiffres : $1 0^{4} = 10000$ combinaisons possibles. Codes à 4 chiffres distincts : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ .

Factorielle, arrangements, combinaisons

Définition

Pour $n \in N$ , on définit la factorielle :

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n, 0! = 1.

Le nombre de permutations de $n$ éléments distincts est $n!$ .

Définition : Arrangements

Le nombre d'arrangements de $k$ parmi $n$ (listes ordonnées sans répétition) est :

A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = n! / (n - k)! .

Définition : Combinaisons

Le nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$ (choix non ordonnés, sans répétition) est :

C_{n}^{k} = (k n) = n! / (k! (n - k)!) = \frac{A _{n}^{k}}{k}! .

Exemple

Comités de 3 personnes choisies parmi 10 : $(3 10) = 120$ .
Classements (3 places) parmi 10 : $A_{10}^{3} = 720$ .

Propriétés des coefficients binomiaux

Théorème

Pour tous $n \geq 0$ et $0 \leq k \leq n$ :

Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Triangle de Pascal : $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ .
Somme : $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ .

Démonstrations : directes par le quotient factoriel pour la symétrie ; le triangle se voit géométriquement dans le tableau et algébriquement ; la somme correspond au cardinal de $P (E)$ pour $∣ E ∣ = n$ .

Formule du binôme de Newton

Théorème

Pour tous $a, b$ (réels ou complexes) et $n \in N$ :

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k} .

Démonstration

Raisonnement combinatoire : $(a + b)^{n} = (a + b) (a + b) \dots (a + b)$ . Développer, c'est choisir dans chaque facteur soit $a$ soit $b$ . Le coefficient de $a^{n - k} b^{k}$ est le nombre de façons de choisir $k$ facteurs donnant $b$ (parmi $n$ ), soit $(k n)$ .

Exemple

$(x + 1)^{4} = (0 4) x^{4} + (1 4) x^{3} + (2 4) x^{2} + (3 4) x + (4 4) = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$ .

Permutations avec répétition

Le nombre de mots (anagrammes) qu'on peut former avec un multi-ensemble $n_{1}$ $a_{1}$ 's, $n_{2}$ $a_{2}$ 's, ..., $n_{r}$ $a_{r}$ 's (avec $n_{1} + \dots + n_{r} = n$ ) est :

n! / (n_{1}! n_{2}! \dots n_{r}!) .

Exemple

Anagrammes de MATHS (5 lettres distinctes) : $5! = 120$ . Anagrammes de MATH (4 lettres distinctes) : $4! = 24$ . Anagrammes de BANANA (B, 3 A, 2 N) : $6! / (1! 3! 2!) = 60$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Combien de mots de $3$ lettres distinctes peut-on former avec les $26$ lettres de l'alphabet ?
2.
De combien de façons peut-on ranger $6$ livres différents côte à côte sur une étagère ?
3.
Un podium (or, argent, bronze) parmi $8$ coureurs : combien de podiums possibles ?
4.
$(3 7)$ vaut :
5.
$(18 20)$ vaut :
6.
D'après la relation de Pascal, $(3 9) + (4 9)$ vaut :
7.
Un ensemble $E$ a $6$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (y compris $\emptyset$ et $E$ ) est :
8.
Dans le développement de $(x + 2)^{5}$ , le coefficient de $x^{2}$ est :
9.
Le nombre d'anagrammes du mot ALGEBRE ( $7$ lettres, dont deux E) est :
10.
Dans la démonstration combinatoire de $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$ , le coefficient $(k n)$ apparaît car il compte :

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