MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Mathématiques · 1ère Bac

Calcul trigonométrique

Formules d'addition, duplication, linéarisation, transformations somme-produit, équations trigonométriques.

الحساب المثلثي : صيغ الجمع وصيغ الضعف، تحويل الجداء إلى مجموع والمجموع إلى جداء، حل المعادلات المثلثية.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Formules d'addition

Théorème : Addition et soustraction

Pour tous réels $a, b$ :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b,

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b,

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b,

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b .

Démonstration

Esquisse. On démontre $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ via le produit scalaire de deux vecteurs unitaires d'angles $a$ et $b$ (vu au Chapitre 4). Les trois autres en découlent par les formules $cos (- x) = cos x$ , $sin (- x) = - sin x$ et les relations $sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ .

Exemple

$cos (7 5^{\circ}) = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = (\frac{2}{2}) (\frac{3}{2}) - (\frac{2}{2}) (\frac{1}{2}) = \frac{6 - 2}{4}$ .

Formules de duplication

Théorème

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a,

sin (2 a) = 2 sin a cos a,

tan (2 a) = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a} si tan a \neq = \pm 1.

Démonstration

Prendre $b = a$ dans les formules d'addition. Pour $cos (2 a)$ , utiliser l'identité fondamentale $cos^{2} + sin^{2} = 1$ pour obtenir les trois formes.

Formules de linéarisation

Obtenues en réécrivant $cos (2 a) = 2 cos^{2} a - 1$ et $cos (2 a) = 1 - 2 sin^{2} a$ :

cos^{2} a = \frac{1 + cos ( 2 a )}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos ( 2 a )}{2} .

Pour $sin a cos a = (\frac{1}{2}) sin (2 a)$ .

Exemple

$sin^{2} (\frac{π}{8}) = \frac{1 - c o s ( \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}$ .

Transformations somme–produit et produit–somme

Théorème : Somme → produit

cos p + cos q = 2 cos (\frac{p + q}{2}) cos (\frac{p - q}{2}),

cos p - cos q = - 2 sin (\frac{p + q}{2}) sin (\frac{p - q}{2}),

sin p + sin q = 2 sin (\frac{p + q}{2}) cos (\frac{p - q}{2}),

sin p - sin q = 2 cos (\frac{p + q}{2}) sin (\frac{p - q}{2}) .

Ces formules sont utiles pour factoriser. La démonstration utilise les formules d'addition avec $a = \frac{p + q}{2}, b = \frac{p - q}{2}$ .

Théorème : Produit → somme

2 cos a cos b = cos (a - b) + cos (a + b),

2 sin a sin b = cos (a - b) - cos (a + b),

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) .

Équations trigonométriques approfondies

Exemple

Résoudre $cos x + sin x = 1$ .

Méthode. $cos x + sin x = 2 cos (x - \frac{π}{4}) = 1$ donne $cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ , soit $x - \frac{π}{4} = \pm \frac{π}{4} + 2 k π$ . D'où $x = 2 k π$ ou $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ .

Exemple

Résoudre $sin (2 x) = cos x$ .

$2 sin x cos x - cos x = 0$ , soit $cos x (2 sin x - 1) = 0$ . Alors $cos x = 0$ ( $x = \frac{π}{2} + k π$ ) ou $sin x = \frac{1}{2}$ ( $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ ).

Formule de l'angle auxiliaire

Théorème

Pour tous $a, b$ non tous deux nuls, il existe $R = a^{2} + b^{2}$ et $φ$ (unique modulo $2 π$ ) tels que :

a cos x + b sin x = R cos (x - φ),

avec $cos φ = \frac{a}{R}$ et $sin φ = \frac{b}{R}$ .

Cette formule est souvent la clef pour résoudre $a cos x + b sin x = c$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Pour tous réels $a, b$ , $cos (a + b)$ vaut :
2.
La valeur exacte de $cos (1 5^{\circ})$ est :
3.
Si $sin a = \frac{3}{5}$ et $cos a = - \frac{4}{5}$ , alors $sin (2 a)$ vaut :
4.
Si $cos a = \frac{1}{3}$ , alors $cos (2 a)$ vaut :
5.
La valeur exacte de $cos^{2} (\frac{π}{8})$ est :
6.
La formule de transformation de $cos p + cos q$ en produit est :
7.
La formule $tan (2 a) = \frac{2 t a n a}{1 - t a n ^{2} a}$ est valable à condition que $tan a$ et $tan (2 a)$ existent et que :
8.
L'expression $cos x - 3 sin x$ s'écrit sous la forme $R cos (x - φ)$ avec :
9.
Les solutions dans $R$ de $sin x = \frac{1}{2}$ sont :
10.
La valeur exacte de $2 cos (7 5^{\circ}) cos (1 5^{\circ})$ est :

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