Généralités sur les fonctions numériques

Une fonction numérique d'une variable réelle est une règle qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f\subseteq \mathbb{R}$ un unique réel noté $f(x)$. $D_f$ est le domaine de définition.

• $f(x)$ implique un quotient $\frac{A}{B}$ : exiger $B\ne 0$.
• $f(x)$ implique $\sqrt{A}$ : exiger $A\ge 0$.
• $f(x)=\ln (A)$ ou $\frac{1}{\sqrt{A}}$ : exiger $A>0$.
• Composition $g\circ h$ : $x\in D_h$ et $h(x)\in D_g$.

Soient $f$ définie sur $D_f$, $g$ sur $D_g$, et $k\in \mathbb{R}$.

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, sur $D_f\cap D_g$.
• $(kf)(x)=kf(x)$, sur $D_f$.
• $(fg)(x)=f(x)g(x)$, sur $D_f\cap D_g$.
• $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ sur $(D_f\cap D_g)\setminus x|g(x)=0$.
• Composée $g\circ f:x\mapsto g(f(x))$ sur $x\in D_f|f(x)\in D_g$.

$f(x)=x+1$, $g(x)=x^2$.

• $(f+g)(x)=x^2+x+1$ sur $\mathbb{R}$.
• $(g\circ f)(x)=(x+1{)}^2$ sur $\mathbb{R}$.
• $(f\circ g)(x)=x^2+1$ sur $\mathbb{R}$.
• En général $g\circ f\ne f\circ g$.

Soit $D_f$ symétrique par rapport à $0$ (i.e. $x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f$).

• $f$ est paire si $\forall x\in D_f,f(-x)=f(x)$.
• $f$ est impaire si $\forall x\in D_f,f(-x)=-f(x)$.

• La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
• La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$.

$f$ est périodique de période $T>0$ si pour tout $x\in D_f$ : $x+T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$. La plus petite $T$ vérifiant cela, si elle existe, est la période fondamentale.

• $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques (fondamentale $2\pi$).
• $\tan$ est $\pi$-périodique.
• $x\mapsto \sin (3x)$ est $\frac{2\pi }{3}$-périodique.

Soit $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.

• $f$ est croissante sur $I$ si $\forall x_1,x_2\in I$, $x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$.
• $f$ est strictement croissante sur $I$ si l'inégalité est stricte.
• Même définition pour (strictement) décroissante avec $\ge$.
• $f$ est constante si $f$ prend la même valeur sur tout $I$.

Pour démontrer la monotonie, on étudie le signe de $f(x_2)-f(x_1)$ ou de $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ pour $x_1,x_2\in I$ avec $x_1<x_2$.

Soit $f(x)=x^2$ sur $[0,+\infty [$. Pour $0\le x_1<x_2$ : $f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$. Les deux facteurs sont positifs, donc $f(x_2)-f(x_1)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$.

Soit $x_0\in D_f$.

• $f$ admet un maximum global en $x_0$ si $\forall x\in D_f,f(x)\le f(x_0)$. La valeur $f(x_0)$ est alors le maximum.
• Minimum global : même définition avec $\ge$.
• Local : la propriété ne vaut que sur un voisinage de $x_0$.

Soient $f$ et $g$ monotones sur un même intervalle $I$.

• Si $f$ et $g$ sont toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), $f+g$ est monotone de même sens.
• Si $f$ est croissante et $\lambda >0$, $\lambda f$ est croissante.
• Si $f$ est croissante et $\lambda <0$, $\lambda f$ est décroissante.

Soient $f$ monotone sur $I$ et $g$ monotone sur $f(I)$. Alors $g\circ f$ est monotone, et son sens de variation suit la « règle des signes » :

1. $g(x)=f(x)+b$ : translation verticale de vecteur $b\overrightarrow{j}$.
2. $g(x)=f(x-a)$ : translation horizontale de vecteur $a\overrightarrow{i}$.
3. $g(x)=-f(x)$ : symétrie par rapport à $(Ox)$.
4. $g(x)=f(-x)$ : symétrie par rapport à $(Oy)$.
5. $g(x)=kf(x)$ : dilatation verticale de rapport $k$.
6. $g(x)=f(kx)$ : dilatation horizontale de rapport $\frac{1}{k}$.

$f(x)=x^2$. Alors $g(x)=(x-3{)}^2+2$ se construit en translatant la parabole de vecteur $(3;2)$. Minimum $2$ atteint en $x=3$.

Soient $f$ et $g$ définies sur $I$. On dit $f\le g$ sur $I$ si $\forall x\in I,f(x)\le g(x)$. De même pour $f=g$ (égalité de fonctions).

Sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $x\le \sqrt{x}$ est faux en général ($x=4$ : $4>2$). Mais sur $[0,1]$, $x^2\le x$ car $x^2-x=x(x-1)\le 0$.

$f$ est majorée sur $I$ s'il existe $M$ tel que $\forall x\in I,f(x)\le M$. De même minorée et bornée = majorée ET minorée.