1ère Bac Sciences Économiques et Gestion

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Logarithme décimal

Définition (log x = y ⇔ 10^y = x), règles de calcul, fonction log et sa croissance, équations et inéquations, inconnue en exposant, nombre de chiffres, pH et échelle de Richter, intérêts composés. 3 séries d'exercices corrigés.

اللوغاريتم العشري : تعريف اللوغاريتم العشري، قواعد الحساب، الدالة log وتزايدها، معادلات ومتراجحات، المجهول في الأس، pH وسلم ريختر والفوائد المركبة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition

Définition : Logarithme décimal

Pour tout réel $x > 0$ , le logarithme décimal de $x$ , noté $lo g x$ , est l'unique réel $y$ tel que $1 0^{y} = x$ :

lo g x = y \Leftrightarrow 1 0^{y} = x (x > 0) .

La fonction $lo g$ est définie sur $] 0, + \infty [$ et n'est pas définie pour $x \leq 0$ .

Exemple

$lo g 1 = 0$ car $1 0^{0} = 1$ ; $lo g 10 = 1$ ; $lo g 100 = 2$ ; $lo g 1000 = 3$ .
$lo g 0, 1 = - 1$ car $1 0^{- 1} = 0, 1$ ; $lo g 0, 001 = - 3$ .
$lo g 10 = \frac{1}{2}$ car $1 0^{\frac{1}{2}} = 10$ .
Plus généralement, $lo g 1 0^{n} = n$ pour tout $n \in Z$ .

Propriété : Conséquences immédiates

Pour tout $x > 0$ et tout réel $y$ :

1 0^{l o g x} = x et lo g (1 0^{y}) = y .

Sur la calculatrice, la touche $lo g$ donne une valeur approchée : $lo g 2 \approx 0, 301$ , $lo g 3 \approx 0, 477$ , $lo g 7 \approx 0, 845$ .

Propriétés algébriques

Théorème : Propriété fondamentale

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

lo g (ab) = lo g a + lo g b .

Le logarithme transforme un produit en somme.

Démonstration

Posons $u = lo g a$ et $v = lo g b$ , c'est-à-dire $a = 1 0^{u}$ et $b = 1 0^{v}$ . Alors $ab = 1 0^{u} \times 1 0^{v} = 1 0^{u + v}$ , donc $lo g (ab) = u + v$ .

Propriété : Règles de calcul

Pour tous $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier $n$ :

$lo g (\frac{1}{b}) = - lo g b$ ;
$lo g (\frac{a}{b}) = lo g a - lo g b$ ;
$lo g (a^{n}) = n lo g a$ ;
$lo g a = \frac{1}{2} lo g a$ .

Démonstration

(1) $lo g b + lo g (\frac{1}{b}) = lo g (b \times \frac{1}{b}) = lo g 1 = 0$ . (2) $lo g (\frac{a}{b}) = lo g (a \times \frac{1}{b}) = lo g a - lo g b$ . (3) Pour $n \in N$ , on applique $n - 1$ fois la propriété fondamentale à $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ; pour $n < 0$ , on utilise (1). (4) $2 lo g a = lo g (a^{2}) = lo g a$ .

Exemple

Avec $lo g 2 \approx 0, 301$ et $lo g 3 \approx 0, 477$ :

$lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0, 778$ ;
$lo g 5 = lo g (\frac{10}{2}) = 1 - lo g 2 \approx 0, 699$ ;
$lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2 \approx 0, 903$ ;
$lo g 0, 75 = lo g (\frac{3}{4}) = lo g 3 - 2 lo g 2 \approx - 0, 125$ ;
$lo g 4500 = lo g (45 \times 100) = 2 lo g 3 + lo g 5 + 2 \approx 3, 653$ .

Exemple

Attention aux erreurs classiques : $lo g (a + b) \neq = lo g a + lo g b$ et $lo g (ab) \neq = lo g a \times lo g b$ . Par exemple $lo g (10 + 10) = lo g 20 \approx 1, 301$ alors que $lo g 10 + lo g 10 = 2$ .

La fonction logarithme décimal

Théorème : Sens de variation

La fonction $lo g$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ :

pour a, b > 0 : a < b \Leftrightarrow lo g a < lo g b, a = b \Leftrightarrow lo g a = lo g b .

Démonstration

Si $0 < a < b$ , alors $\frac{b}{a} > 1$ et on peut écrire $\frac{b}{a} = 1 0^{t}$ avec $t > 0$ (une puissance de $10$ dépasse $1$ exactement lorsque l'exposant est positif). Donc $lo g b - lo g a = lo g (\frac{b}{a}) = t > 0$ .

Propriété : Signe et valeurs particulières

$lo g x < 0$ pour $0 < x < 1$ ; $lo g 1 = 0$ ; $lo g x > 0$ pour $x > 1$ .
$lo g x$ prend des valeurs aussi grandes que l'on veut quand $x$ devient grand ( $lo g 1 0^{n} = n$ ), et aussi négatives que l'on veut quand $x$ se rapproche de $0$ ( $lo g 1 0^{- n} = - n$ ). On écrit $lim_{x \to 0^{+}} lo g x = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} lo g x = + \infty$ .
La courbe passe par les points $(1, 0)$ , $(10, 1)$ , $(100, 2)$ : elle croît de plus en plus lentement.

$x$	$0, 01$	$0, 1$	$1$	$2$	$10$	$100$	$1000$
$lo g x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$\approx 0, 3$	$1$	$2$	$3$

Équations et inéquations

La croissance stricte permet de « passer au log » dans une égalité ou une inégalité entre nombres strictement positifs, et d'en « sortir » de la même façon.

Propriété : Méthode

Déterminer l'ensemble de définition : chaque expression sous un $lo g$ doit être strictement positive.
Transformer avec les règles de calcul pour obtenir $lo g A = lo g B$ ou $lo g A \leq lo g B$ .
Conclure avec $A = B$ (ou $A \leq B$ ) et garder les solutions qui sont dans l'ensemble de définition.

Exemple

Résoudre $lo g (x - 1) + lo g (x + 2) = 1$ . Ensemble de définition : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$ , soit $x > 1$ . L'équation devient $lo g ((x - 1) (x + 2)) = lo g 10$ , donc $(x - 1) (x + 2) = 10$ , soit $x^{2} + x - 12 = 0$ , d'où $x = 3$ ou $x = - 4$ . Seule $x = 3$ appartient à l'ensemble de définition : $S = {3}$ .

Exemple

Résoudre $lo g (2 x + 1) \leq 1$ . Domaine : $x > - \frac{1}{2}$ . L'inéquation s'écrit $lo g (2 x + 1) \leq lo g 10$ , donc $2 x + 1 \leq 10$ , soit $x \leq \frac{9}{2}$ . Avec le domaine : $S =] - \frac{1}{2}, \frac{9}{2}]$ .

Équations où l'inconnue est un exposant

C'est l'usage le plus fréquent en économie : on cherche au bout de combien de périodes une quantité qui évolue par multiplications successives dépasse un seuil.

Exemple

Résoudre $2^{x} = 30$ . Les deux membres sont positifs ; en prenant le logarithme : $x lo g 2 = lo g 30$ , donc $x = \frac{l o g 30}{l o g 2} = \frac{1 + l o g 3}{l o g 2} \approx \frac{1 , 477}{0 , 301} \approx 4, 91$ .

Exemple

Résoudre dans $N$ : $1, 0 4^{n} \geq 2$ . On prend le log (croissance) : $n lo g 1, 04 \geq lo g 2$ . Comme $lo g 1, 04 \approx 0, 0170 > 0$ , on divise sans changer le sens : $n \geq \frac{0 , 301}{0 , 0170} \approx 17, 7$ . Le plus petit entier solution est $n = 18$ : un capital placé à $4%$ à intérêts composés double en $18$ ans.

Applications aux ordres de grandeur

Propriété : Nombre de chiffres d'un entier

Un entier $N \geq 1$ a exactement $k$ chiffres lorsque $1 0^{k - 1} \leq N < 1 0^{k}$ , c'est-à-dire $k - 1 \leq lo g N < k$ . Le nombre de chiffres de $N$ est donc la partie entière de $lo g N$ , augmentée de $1$ .

Exemple

$2^{100}$ : $lo g (2^{100}) = 100 lo g 2 \approx 30, 1$ , donc $30 \leq lo g 2^{100} < 31$ et $2^{100}$ a $31$ chiffres. De même $3^{50}$ : $50 \times 0, 477 = 23, 85$ , soit $24$ chiffres.

Exemple

Comparer $2^{300}$ et $3^{200}$ sans les calculer : $lo g 2^{300} = 300 lo g 2 \approx 90, 3$ et $lo g 3^{200} = 200 lo g 3 \approx 95, 4$ . Comme $lo g$ est croissante, $3^{200} > 2^{300}$ .

Échelles logarithmiques

Quand une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur, on la mesure par son logarithme.

pH d'une solution : $pH = - lo g [H^{+}]$ , où $[H^{+}]$ est la concentration en ions hydrogène (mol/L). Une solution de pH $3$ est dix fois plus acide qu'une solution de pH $4$ .
Échelle de Richter : la magnitude $M$ d'un séisme vérifie $E = E_{0} \times 1 0^{1, 5 M}$ pour l'énergie libérée. Un point de magnitude en plus multiplie l'énergie par $1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ .
Décibels : un niveau sonore $L = 10 lo g (\frac{I}{I _{0}})$ ; un bruit deux fois plus intense gagne $10 lo g 2 \approx 3$ dB.

Exemple

Une solution a une concentration $[H^{+}] = 3, 2 \times 1 0^{- 5}$ mol/L. $pH = - lo g (3, 2 \times 1 0^{- 5}) = - (lo g 3, 2 - 5) = 5 - 0, 505 \approx 4, 5$ .

Logarithme et suites géométriques

Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u_{0} > 0$ , alors $lo g u_{n} = lo g u_{0} + n lo g q$ : la suite $(lo g u_{n})$ est arithmétique de raison $lo g q$ . C'est pourquoi, sur un graphique en échelle logarithmique, une croissance exponentielle (intérêts composés, population, inflation) apparaît comme une droite — et pourquoi le $lo g$ est l'outil naturel pour trouver le rang $n$ à partir duquel $u_{n}$ dépasse un seuil donné.

Exemple

Une production augmente de $6%$ par an : $u_{n} = u_{0} \times 1, 0 6^{n}$ . Elle aura doublé quand $1, 0 6^{n} \geq 2$ , soit $n \geq \frac{l o g 2}{l o g 1 , 06} \approx \frac{0 , 301}{0 , 0253} \approx 11, 9$ : au bout de $12$ ans.

Ce qu'il faut retenir

$lo g x = y \Leftrightarrow 1 0^{y} = x$ ; $lo g 1 = 0$ , $lo g 10 = 1$ , $lo g 1 0^{n} = n$ .
$lo g (ab) = lo g a + lo g b$ , $lo g (\frac{a}{b}) = lo g a - lo g b$ , $lo g a^{n} = n lo g a$ .
$lo g$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ : on peut « passer au log » dans une équation ou une inéquation entre nombres positifs.
Toujours écrire l'ensemble de définition avant de résoudre.
Nombre de chiffres de $N$ = partie entière de $lo g N$ , plus $1$ .
Pour une inconnue en exposant ( $q^{n} \geq A$ ), prendre le log des deux membres.

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Calculs et comparaison
On pose $a = lo g 2$ et $b = lo g 3$ .
1. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ : $lo g 72$ , $lo g 0, 6$ , $lo g 2, 5$ et $lo g (\frac{4}{9})$ .
2. Comparer $5^{12}$ et $1 0^{8}$ sans les calculer.
Voir la correction
1. $lo g 72 = lo g (8 \times 9) = 3 a + 2 b$ ; $lo g 0, 6 = lo g (\frac{6}{10}) = a + b - 1$ ; $lo g 2, 5 = lo g (\frac{10}{4}) = 1 - 2 a$ ; $lo g (\frac{4}{9}) = 2 a - 2 b$ .
2. $lo g 5^{12} = 12 lo g 5 = 12 (1 - a) \approx 12 \times 0, 699 = 8, 39 > 8 = lo g 1 0^{8}$ . Comme $lo g$ est croissante, $5^{12} > 1 0^{8}$ .
Équation et inéquation
1. Résoudre l'équation $lo g (x + 2) + lo g (x - 1) = lo g 4$ .
2. Résoudre l'inéquation $lo g (2 x + 1) \leq 1 + lo g (x - 1)$ .
Voir la correction
1. Domaine : $x + 2 > 0$ et $x - 1 > 0$ , soit $x > 1$ . $lo g ((x + 2) (x - 1)) = lo g 4$ donne $x^{2} + x - 2 = 4$ , soit $x^{2} + x - 6 = 0$ , de racines $x = 2$ et $x = - 3$ . Seule $x = 2$ est dans le domaine : $S = {2}$ .
2. Domaine : $x > 1$ (alors $2 x + 1 > 0$ aussi). Comme $1 = lo g 10$ , l'inéquation s'écrit $lo g (2 x + 1) \leq lo g (10 (x - 1))$ , soit $2 x + 1 \leq 10 x - 10$ , c'est-à-dire $x \geq \frac{11}{8}$ . Avec le domaine : $S = [\frac{11}{8}, + \infty [$ .
Équation du second degré en log x
Résoudre dans $] 0, + \infty [$ l'équation $2 (lo g x)^{2} + lo g x - 1 = 0$ .
Voir la correction
On pose $X = lo g x$ : $2 X^{2} + X - 1 = 0$ , $Δ = 1 + 8 = 9$ , donc $X = \frac{- 1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$ ou $X = \frac{- 1 - 3}{4} = - 1$ . $lo g x = \frac{1}{2}$ donne $x = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10$ ; $lo g x = - 1$ donne $x = \frac{1}{10}$ . $S = {\frac{1}{10}, 10}$ .
Ordres de grandeur
1. Déterminer le nombre de chiffres de $9^{40}$ .
2. Comparer $2^{300}$ et $3^{200}$ .
Voir la correction
1. $lo g 9^{40} = 40 lo g 9 = 80 lo g 3 \approx 38, 2$ , donc $1 0^{38} \leq 9^{40} < 1 0^{39}$ : $9^{40}$ a $39$ chiffres.
2. $lo g 2^{300} = 300 lo g 2 \approx 90, 3$ et $lo g 3^{200} = 200 lo g 3 \approx 95, 4$ . Donc $3^{200} > 2^{300}$ .
Placement à intérêts composés
Un capital de 15 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de $3, 5%$ . On donne $lo g 1, 035 \approx 0, 0149$ .
1. Exprimer le capital $C_{n}$ acquis après $n$ années.
2. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 25 000 DH ?
Voir la correction
1. $C_{n} = 15000 \times 1, 03 5^{n}$ .
2. $C_{n} \geq 25000 \Leftrightarrow 1, 03 5^{n} \geq \frac{5}{3} \Leftrightarrow n lo g 1, 035 \geq lo g 5 - lo g 3$ . Or $lo g 5 - lo g 3 = 1 - lo g 2 - lo g 3 \approx 0, 222$ , donc $n \geq \frac{0 , 222}{0 , 0149} \approx 14, 9$ . Le capital dépasse 25 000 DH au bout de $15$ ans.

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
$lo g 1000$ vaut :
2.
$lo g 0, 01$ vaut :
3.
L'expression $lo g x$ est définie pour :
4.
Pour $a > 0$ et $b > 0$ , $lo g (ab)$ est égal à :
5.
Sachant que $lo g 2 \approx 0, 301$ , une valeur approchée de $lo g 5$ est :
6.
L'ensemble des solutions de $lo g (x - 1) + lo g (x + 2) = 1$ est :
7.
L'ensemble des solutions de $lo g (2 x + 1) \leq 1$ est :
8.
La solution de l'équation $2^{x} = 30$ est :
9.
Sachant que $lo g 2 \approx 0, 301$ , le nombre $2^{100}$ possède :
10.
Une production augmente de $6%$ par an. Le plus petit entier $n$ tel qu'elle ait doublé ( $1, 0 6^{n} \geq 2$ ) est :

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Équations et inéquations

Équations où l'inconnue est un exposant

Applications aux ordres de grandeur

Échelles logarithmiques

Logarithme et suites géométriques

Ce qu'il faut retenir

Exercices type contrôle corrigés

01Calculs et comparaison

02Équation et inéquation

03Équation du second degré en log x

04Ordres de grandeur

05Placement à intérêts composés

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Calculs et comparaison

Équation et inéquation

Équation du second degré en log x

Ordres de grandeur

Placement à intérêts composés