1ère Bac Sciences Économiques et Gestion

MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Économiques et Gestion · 1ère Bac

Le barycentre dans le plan

Barycentre de 2, 3, n points pondérés ; homogénéité, associativité ; applications géométriques.

المرجح في المستوى : مرجح نقطتين وثلاث نقط و n نقطة متزنة، التجانس والتجميعية والتطبيقات الهندسية للمرجح.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Barycentre de deux points pondérés

Le barycentre généralise l'idée de milieu : c'est le « point d'équilibre » d'un système de points affectés de poids.

Définition : Barycentre de deux points pondérés

Soient $A, B$ deux points du plan et $α, β \in R$ avec $α + β \neq = 0$ . Le barycentre du système pondéré $(A, α), (B, β)$ est l'unique point $G$ tel que :

α G A + β GB = 0 .

Propriété : Caractérisation par un vecteur d'un point quelconque

Pour tout point $M$ du plan :

M G = \frac{α M A + β M B}{α + β} .

Démonstration

$α G A + β GB = 0$ s'écrit, avec Chasles, $α (GM + M A) + β (GM + M B) = 0$ , soit $(α + β) GM = - (α M A + β M B)$ , d'où la formule.

Exemple

Barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 1)$ : $M G = (\frac{1}{2}) (M A + M B)$ , c'est-à-dire le milieu de $[A B]$ .

Barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 1)$ : $A G = (\frac{1}{3}) A B$ (plus proche de $A$ , puisque $A$ est plus « lourd »).

Propriété d'homogénéité

Théorème : Homogénéité

Le barycentre de $(A, α), (B, β)$ est identique au barycentre de $(A, k α), (B, k β)$ pour tout $k \in R^{*}$ (à condition que $α + β \neq = 0$ ).

Démonstration

$k α G A + k β GB = k (α G A + β GB) = 0$ si $α G A + β GB = 0$ .

Conséquence : on peut toujours se ramener à des poids de somme $1$ , ou simplifier les poids par un facteur commun.

Barycentre de trois points pondérés

Définition

Soient $A, B, C$ trois points et $α, β, γ \in R$ avec $α + β + γ \neq = 0$ . Le barycentre $G$ est l'unique point vérifiant :

α G A + β GB + γ GC = 0 .

Pour tout $M$ : $M G = (\frac{1}{α + β + γ}) (α M A + β M B + γ M C)$ .

Exemple

Centre de gravité. Le centre de gravité d'un triangle $A B C$ est le barycentre de $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$ : $M G = (\frac{1}{3}) (M A + M B + M C)$ . On retrouve la caractérisation vue en Tronc Commun.

Associativité

Théorème : Associativité

Soit $G$ le barycentre de $(A, α), (B, β), (C, γ)$ , et supposons $α + β \neq = 0$ . Si $H$ est le barycentre de $(A, α), (B, β)$ , alors $G$ est le barycentre de $(H, α + β), (C, γ)$ .

Intuition : on peut « regrouper » des points de même sous-système en un seul barycentre partiel, avec un poids égal à la somme.

Exemple

Barycentre $G$ de $(A, 1), (B, 1), (C, 2)$ . Regroupons $A, B$ en leur milieu $I$ (barycentre de $(A, 1), (B, 1)$ avec somme $2$ ). Par associativité, $G$ est le barycentre de $(I, 2), (C, 2)$ , c'est-à-dire le milieu de $[I C]$ .

Coordonnées d'un barycentre

Théorème

Dans un repère $(O, i, j)$ , si $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ , $C (x_{C}; y_{C})$ et $G$ est le barycentre de $(A, α), (B, β), (C, γ)$ (avec $S = α + β + γ \neq = 0$ ) :

x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B} + γ x _{C}}{S}, y_{G} = \frac{α y _{A} + β y _{B} + γ y _{C}}{S} .

Exemple

Centre de gravité de $A (0; 0), B (6; 0), C (0; 9)$ : $G (\frac{0 + 6 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 9}{3}) = (2; 3)$ .

Applications

Médianes et centre de gravité

Le centre de gravité divise chaque médiane dans le rapport $2 : 1$ à partir du sommet. Formellement : si $A^{'}$ est le milieu de $[B C]$ , $A G = (\frac{2}{3}) A A^{'}$ .

Alignement et barycentre

Propriété

Trois points $P, Q, R$ sont alignés ssi il existe des réels $α, β, γ$ non tous nuls tels que $α + β + γ \neq = 0$ et $(P, α), (Q, β), (R, γ)$ aient $P$ , $Q$ ou $R$ comme barycentre.

En pratique, pour montrer que trois points sont alignés via barycentre, on les exprime les uns en fonction des autres avec les mêmes points.

Lignes de niveau

Propriété

Soit $G$ le barycentre de $(A, α), (B, β), (C, γ)$ avec $α + β + γ \neq = 0$ . Grâce à la réduction $α M A + β M B + γ M C = (α + β + γ) M G$ :

l'équation $α M A + β M B + γ M C = u$ ( $u$ vecteur fixe) a un unique point solution ;
l'équation $∥ α M A + β M B + γ M C ∥ = k$ ( $k > 0$ ) a pour ensemble de solutions le cercle de centre $G$ et de rayon $k /∣ α + β + γ ∣$ .

Exemple

Trouver l'ensemble des $M$ tels que $M A + M B + M C = 0$ . Avec $G$ = centre de gravité du triangle : le premier membre vaut $3 M G$ . L'équation $3 M G = 0$ a pour unique solution $M = G$ .

Documents

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1.
Le point $G$ est le barycentre de $(A, α)$ et $(B, β)$ lorsque :
2.
Le barycentre de $(A, α)$ et $(B, β)$ existe à condition que :
3.
Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 1)$ . Alors :
4.
Le barycentre de $(A, 4), (B, 6)$ et celui de $(A, 2), (B, 3)$ sont :
5.
Soient $A (1; 3)$ et $B (5; - 1)$ . Le barycentre de $(A, 3)$ et $(B, 1)$ a pour coordonnées :
6.
Soit $A^{'}$ le milieu de $[B C]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $A B C$ . Alors :
7.
Soit $G$ le barycentre de $(A, 2), (B, 1), (C, 3)$ et $H$ celui de $(A, 2), (B, 1)$ . Par associativité, $G$ est :
8.
Soient $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ et $C (2; 6)$ . Le barycentre de $(A, 1), (B, 2), (C, 3)$ a pour coordonnées :
9.
L'ensemble des points $M$ tels que $M A + M B + M C = 0$ est :
10.
Si $G$ est le barycentre de $(A, 1), (B, 2), (C, 3)$ , alors pour tout point $M$ : $M A + 2 M B + 3 M C$ vaut :

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