Dénombrement

Principes additif et multiplicatif, arrangements, permutations, combinaisons, formule du binôme.

التعداد : المبدأ الجمعي والمبدأ الجدائي، الترتيبات، التبديلات، التأليفات وصيغة الحدانية.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Principes fondamentaux

Propriété : Principe additif

Si deux choix $A$ et $B$ s'excluent mutuellement, le nombre total de choix est $card (A) + card (B)$ .

Propriété : Principe multiplicatif

Si une expérience se décompose en $k$ étapes indépendantes offrant $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ possibilités, le nombre total est $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$ .

Permutations

Définition

Une permutation d'un ensemble à $n$ éléments est une façon d'ordonner ses éléments. Leur nombre est :

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1.

Par convention $0! = 1$ .

Arrangements

Définition

Un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$ . Leur nombre est :

A_{n}^{p} = n! / (n - p)! = n (n - 1) \dots (n - p + 1) .

Combinaisons

Définition

Une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble (non ordonné) à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ . Leur nombre :

(p n) = C_{n}^{p} = n! / (p! (n - p)!) .

Propriété : Propriétés

$(0 n) = (n n) = 1$ .
$(p n) = (n - p n)$ (symétrie).
$(p n) + (p + 1 n) = (p + 1 n + 1)$ (Pascal).

Formule du binôme de Newton

Théorème

Pour tous $a, b \in R$ et $n \in N$ :

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .

Exemple

$(x + 2)^{4} = x^{4} + 4 \times 2 x^{3} + 6 \times 4 x^{2} + 4 \times 8 x + 16 = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ .

Documents

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1.
Un menu se compose d'une entrée parmi $3$ , d'un plat parmi $4$ et d'un dessert parmi $2$ . Le nombre de menus possibles est :
2.
Le nombre de façons d'ordonner $5$ élèves sur un banc est :
3.
$10$ chevaux courent. Le nombre de tiercés dans l'ordre (trois premiers, ordonnés) est :
4.
$(2 5)$ vaut :
5.
Le nombre de comités de $3$ élèves (sans rôle particulier) choisis parmi $30$ est :
6.
Sans calculatrice, $(8 10)$ vaut :
7.
D'après la relation de Pascal, $(2 6) + (3 6)$ est égal à :
8.
Dans le développement de $(x + 2)^{4}$ , le coefficient de $x^{2}$ est :
9.
La somme $(0 5) + (1 5) + \dots + (5 5)$ vaut :
10.
Pour tout entier naturel $n$ , $(0 n)$ vaut :

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