Étude et représentation d'une fonction

Méthode d'étude complète, asymptotes, branches infinies, tracé.

دراسة دالة وتمثيلها المبياني : منهجية الدراسة الكاملة لدالة عددية، المقاربات، الفروع اللانهائية، إنشاء المنحنى.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Plan d'étude type

Étudier une fonction $f$ signifie, en général, suivre un plan reproductible en neuf étapes :

Domaine $D_{f}$ .
Parité / périodicité (symétries éventuelles de la courbe).
Limites aux bornes du domaine.
Asymptotes horizontales, verticales, obliques.
Dérivée $f^{'} (x)$ et son signe.
Tableau de variations.
Extrema locaux et globaux.
Points particuliers (intersections avec les axes, tangentes horizontales, points d'inflexion quand faisable).
Tracé soigné.

Branches infinies et asymptotes obliques

Propriété

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $+ \infty$ (ou $- \infty$ ).

Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ fini : asymptote horizontale $y = ℓ$ .
Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = \pm \infty$ et $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ et $lim (f (x) - a x) = b$ fini : asymptote oblique $y = a x + b$ .
Si $\frac{f ( x )}{x} \to \pm \infty$ : branche parabolique de direction verticale.
Si $\frac{f ( x )}{x} \to 0$ : branche parabolique de direction horizontale.

Exemple

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ . Division polynomiale : $f (x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ . Donc asymptote oblique $y = x + 1$ en $\pm \infty$ . Asymptote verticale $x = 1$ .

Études par famille

Fonctions rationnelles

On factorise numérateur et dénominateur. Les zéros du dénominateur donnent des asymptotes verticales (ou des « trous » si zéros communs se simplifient). Diviser pour trouver asymptote oblique éventuelle.

Exemple

$f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = (x - 2) \frac{x + 2}{x + 2} = x - 2$ (sauf en $x = - 2$ ). Pas d'asymptote verticale (trou « rebouché »).

Fonctions avec racines

Conditions d'existence, comportement asymptotique via conjuguée.

Exemple

$f (x) = x^{2} + x + 1$ . $D_{f} = R$ (discriminant négatif). $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = 1 = 1$ ; $lim (f (x) - x) = \frac{1}{2}$ (par conjuguée). Donc asymptote oblique $y = x + \frac{1}{2}$ en $+ \infty$ .

Fonctions trigonométriques

Exploiter la périodicité pour limiter l'étude à une période ; étendre ensuite par périodicité. Parité / impairité divisent l'étude par $2$ .

Points d'inflexion (introduction)

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente — intuitivement, où elle change de concavité. À ce niveau, on s'en tient à la détection visuelle et au changement de signe de la dérivée seconde (quand calculable) ; l'étude formelle vient en 2 $e$ Bac.

Exemple complet

Exemple

Étudier $f (x) = \frac{x ^{2} - x + 1}{x - 1}$ .

1. Domaine : $D_{f} = R ∖ 1$ .

2. Limites :

$lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \frac{1 - 1 + 1}{0}^{-} = - \infty$ ; $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ . Asymptote verticale $x = 1$ .
$f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ (division). $lim_{\pm \infty} (f (x) - x) = 0$ . Asymptote oblique $y = x$ .

3. Dérivée : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Zéros $x = 0, x = 2$ . Signe : $+$ sur $] - \infty, 0 [$ , $-$ sur $] 0, 1 [$ , $-$ sur $] 1, 2 [$ , $+$ sur $] 2, + \infty [$ .

4. Tableau :

$x$	$- \infty$	$0$	$1$	$2$	$+ \infty$
$f^{'}$		$+ 0 -$	vertic.	$- 0 +$
$f$	$- \infty$	$- 1$ max loc.	$\pm \infty$	$3$ min loc.	$+ \infty$

5. Points remarquables :

$f (0) = - 1$ (max local, tangente horizontale).
$f (2) = 3$ (min local, tangente horizontale).

6. Tracé : asymptotes $x = 1$ et $y = x$ , respecter les variations.

Documents

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1.
Dans le plan d'étude d'une fonction, la toute première étape est :
2.
Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ et $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = + \infty$ , la courbe $C_{f}$ présente en $+ \infty$ :
3.
Sachant que $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ , la courbe $C_{f}$ admet l'asymptote oblique :
4.
La courbe de $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ :
5.
Pour $f (x) = x^{2} + x + 1$ , on a $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = 1$ et $lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = \frac{1}{2}$ . L'asymptote oblique en $+ \infty$ est :
6.
Pour $f (x) = \frac{x ^{2} - x + 1}{x - 1}$ , $lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ vaut :
7.
Soit $f^{'} (x) = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Alors $f^{'} (x) < 0$ exactement pour :
8.
Dans l'exemple $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ , la dérivée s'annule en $2$ en passant de $-$ à $+$ , et $f (2) = 3$ . Le point d'abscisse $2$ est :
9.
Pour étudier $f (x) = sin x + cos x$ , on peut limiter l'étude à un intervalle de longueur :
10.
Un point d'inflexion d'une courbe est un point où :

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