1ère Bac Sciences Économiques et Gestion

MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Économiques et Gestion · 1ère Bac

La dérivation d'une fonction numérique

Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, règles, sens de variation, extrema.

اشتقاق دالة عددية : العدد المشتق، المماس، الدالة المشتقة، قواعد الاشتقاق، رتابة الدالة والقيم القصوى.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Nombre dérivé, tangente

Figure interactive : tangente et signe de la dérivée

x₀1f'(x₀) ≈ 0 : tangente horizontale (extremum possible)

La tangente au point d’abscisse x₀ a pour pente f′(x₀). Là où f′ > 0 (vert) la courbe monte, là où f′ < 0 (rouge) elle descend ; aux points où la tangente est horizontale, f change de sens de variation.

Définition : Nombre dérivé

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . $f$ est dérivable en $a$ si la limite

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

existe et est finie. Sa valeur, notée $f^{'} (a)$ , s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ .

Propriété : Interprétation géométrique

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ . L'équation de cette tangente est :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

Exemple

$f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$ . Donc $f^{'} (1) = 2$ . Tangente : $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Fonction dérivée

Définition

Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ .

Dérivées usuelles

Propriété

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^{n}$ pour $n \in N^{*}$	$n x^{n - 1}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2}} x$

Règles de dérivation

Théorème

Soient $u, v$ dérivables sur $I$ .

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(k u)^{'} = k u^{'}$ pour $k \in R$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (si $v \neq = 0$ )
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
Composée : si $g$ dérivable en $u (x)$ , $(g \circ u)^{'} = u^{'} \times (g^{'} \circ u)$ . Particulier : $(u)^{'} = u^{'} / (2 u)$ , $(\frac{1}{u})^{'} = - u^{'} / u^{2}$ .

Exemple

$f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ . Poser $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ . Alors $f^{'} = 3 u^{2} u^{'} = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$ .

Sens de variation et extrema

Théorème : Théorème fondamental

Soit $f$ dérivable sur $I$ .

Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante.
Si $f^{'} < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante.
Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante.

Théorème : Extrema locaux

Si $f$ est dérivable en $a \in I$ intérieur et $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $f^{'} (a) = 0$ . La réciproque est fausse : $f^{'} (a) = 0$ n'implique pas un extremum (par exemple $f (x) = x^{3}$ en $a = 0$ ).

En pratique : un changement de signe de $f^{'}$ en $a$ (de $+$ à $-$ ou l'inverse) caractérise bien un extremum.

Exemple

$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . $f^{'} (x) = 2 x - 6$ s'annule en $x = 3$ , passe de $-$ à $+$ : minimum local en $x = 3$ , valeur $f (3) = - 4$ . Sur $R$ , minimum global.

Tableau de variations — méthode type

1. Calculer $f^{'} (x)$ . 2. Étudier son signe (souvent via factorisation). 3. Dresser un tableau avec : $x$ , signe de $f^{'} (x)$ , flèches ↗↘ et valeurs clefs de $f$ . 4. Déduire extrema et intervalles de monotonie.

Exemple

$f (x) = x^{3} - 3 x$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ . Zéros en $x = - 1$ et $x = 1$ . Signe : $+$ sur $] - \infty, - 1 [$ , $-$ sur $] - 1, 1 [$ , $+$ sur $] 1, + \infty [$ .

$f$ croissante sur $] - \infty, - 1]$ , $f (- 1) = 2$ (maximum local) ;
décroissante sur $[- 1, 1]$ , $f (1) = - 2$ (minimum local) ;
croissante sur $[1, + \infty [$ .

Documents

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1.
Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est, lorsqu'elle existe et est finie, la limite :
2.
Géométriquement, $f^{'} (a)$ est :
3.
L'équation de la tangente à la courbe de $f (x) = x^{2}$ au point d'abscisse $3$ est :
4.
La dérivée de $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 1$ est :
5.
Si $u$ et $v$ sont dérivables, alors $(uv)^{'}$ est égale à :
6.
La dérivée de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ sur $R ∖ {- 1}$ est :
7.
La dérivée de $f (x) = (3 x - 1)^{5}$ est :
8.
Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ sur $R$ . Comme $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , la fonction $f$ est :
9.
Sur $] 0, + \infty [$ , la fonction $f (x) = x + \frac{1}{x}$ admet pour minimum :
10.
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) = 0$ , alors $f$ admet en $a$ :

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