Équations, inéquations, programmation linéaire

Équations/inéquations du 1er et 2nd degré, systèmes, introduction à la programmation linéaire 2D.

المعادلات والمتراجحات والبرمجة الخطية : معادلات ومتراجحات الدرجة الأولى والثانية، النظمات، تقديم البرمجة الخطية في المستوى.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Équations et inéquations du second degré

Soit $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq = 0$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : pas de racine réelle.

Propriété : Signe du trinôme

Si $Δ > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre.
Si $Δ \leq 0$ : le trinôme garde le signe de $a$ sur $R$ .

Systèmes linéaires

Définition

Un système linéaire $2 \times 2$ s'écrit :

{a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}

Si $a b^{'} - a^{'} b \neq = 0$ : solution unique (règle de Cramer).

Pour $3 \times 3$ on résout par substitution, combinaison ou pivot.

Exemple

$2 x + 3 y = 7$ , $x - y = 1$ . De la 2e : $x = 1 + y$ . Dans la 1re : $2 (1 + y) + 3 y = 7$ , donc $y = 1$ , $x = 2$ .

Inéquations et programmation linéaire 2D

On s'intéresse à maximiser ou minimiser une fonction objectif linéaire sous des contraintes linéaires.

Propriété : Méthode graphique

Tracer les droites frontières de chaque contrainte.
Hachurer le demi-plan exclu par chaque inéquation.
La zone non hachurée est l'ensemble des solutions admissibles.
L'optimum de $Z = α x + β y$ est atteint en un sommet du polygone des solutions.

Exemple

Un atelier produit $x$ unités A et $y$ unités B. Contraintes : $x + 2 y \leq 40$ (matière), $3 x + y \leq 60$ (main d'œuvre), $x \geq 0$ , $y \geq 0$ . Maximiser $Z = 10 x + 15 y$ . Les sommets sont $(0, 0)$ , $(20, 0)$ , $(16, 12)$ , $(0, 20)$ . $Z (16, 12) = 160 + 180 = 340$ , $Z (0, 20) = 300$ , $Z (20, 0) = 200$ . Optimum : $(16, 12)$ , $Z = 340$ .

Documents

Lis le cours directement dans l'application, ou télécharge le PDF pour le consulter hors ligne.

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Une seule bonne réponse par question. Réponds sans regarder le cours, puis lis l'explication : c'est là que tu apprends. Ton meilleur score est gardé dans ce navigateur.

0/10 répondues

1.
L'équation $2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ admet :
2.
Les solutions de $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ sont :
3.
L'ensemble des solutions de $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ est :
4.
Si $Δ < 0$ et $a < 0$ , le trinôme $a x^{2} + b x + c$ est :
5.
Quand $Δ = 0$ , la racine double de $a x^{2} + b x + c = 0$ vaut :
6.
Le système $a x + b y = c$ , $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ admet une solution unique lorsque :
7.
La solution du système $3 x + 2 y = 12$ , $2 x - y = 1$ est :
8.
Un commerçant achète $x$ articles à $20$ DH et $y$ articles à $30$ DH avec un budget maximum de $600$ DH. La contrainte s'écrit :
9.
En programmation linéaire, l'optimum de $Z = α x + β y$ sur le polygone des solutions admissibles est atteint :
10.
Les sommets de la zone admissible sont $(0; 0)$ , $(20; 0)$ , $(16; 12)$ et $(0; 20)$ . Le maximum de $Z = 10 x + 15 y$ vaut :

Encore 10 questions.