Analyse (fonction exponentielle, calcul intégral, suite récurrente et sommes de Riemann), nombres complexes, arithmétique et structures algébriques

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Analyse10 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Suites numériques · Limites et continuité · Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Suites numériques · Limites et continuité

   On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e}$ et soit $(\Gamma )$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   Partie I.

   1. (a) Montrer que : $(\forall x\in \mathbb{R})$ ; $f(1-x)=f(x)$. (0,25 pt) (b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu. (0,25 pt) (c) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ puis en déduire ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt) (d) Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que : $(\forall x\in \mathbb{R})$ ; $f^{\prime }(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}$. (0,5 pt) (b) Donner les variations de $f$ puis en déduire que : $(\forall x\in \mathbb{R})$ ; $0<f(x)<\frac{1}{2}$. (1 pt)
   3. Représenter graphiquement la courbe $(\Gamma )$. (0,5 pt) (On prendra $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =1\text{ cm }$, $\Vert \overrightarrow{j}\Vert =2\text{ cm }$ et $\frac{1}{2\sqrt{e}}\simeq 0,30$ et $\frac{1}{1+e}\simeq 0,27$.)
   4. (a) Montrer que : ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$. (0,5 pt) (b) En déduire que ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$. (0,25 pt)
   5. (a) En effectuant le changement de variables $t=e^x$, montrer que : ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+e}$ (0,25 pt) (b) Montrer que : ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4})$. (0,5 pt) (c) En déduire l'aire, en cm${}^2$, du domaine plan délimité par $(\Gamma )$, les droites d'équations respectives : $x=0$, $x=1$ et $y=0$. (0,25 pt)

   Partie II. On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0\in ]0;\frac{1}{2}[$ et $(\forall n\in \mathbb{N})$ ; $u_{n+1}=f(u_n)$.

   1. En utilisant le résultat de la question I.2.(a), montrer que : $(\forall x\in \mathbb{R})$ ; $|f^{\prime }(x)|\le f(x)$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que : $(\forall x\in [0;\frac{1}{2}])$ ; $0\le f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$. (0,5 pt) (b) Montrer que la fonction $g:x|\to g(x)=f(x)-x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt) (c) En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0;\frac{1}{2}[$ tel que : $f(\alpha )=\alpha$. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que : $(\forall n\in \mathbb{N})$ ; $0<u_n<\frac{1}{2}$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $(\forall n\in \mathbb{N})$ ; $|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$. (0,5 pt) (c) Montrer par récurrence que : $(\forall n\in \mathbb{N})$ ; $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{2}{)}^{n+1}$. (0,5 pt) (d) En déduire que la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$. (0,25 pt)

   Partie III. On considère la suite numérique $(S_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définie par :

   $$(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast });S_n=\frac{1}{n(n+1)}\sum _{k=1}^{k=n}\frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}}$$

   1. (a) Vérifier que : $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ ; $S_n=\frac{1}{n+1}{\sum }_{k=1}^{k=n}\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})$. (0,25 pt) (b) Montrer que : ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$. (0,5 pt) (On pourra effectuer le changement de variables $t=1-x$.)
   2. Montrer que la suite $(S_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est convergente et déterminer sa limite. (0,5 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. (a) Pour $x\in \mathbb{R}$, en multipliant numérateur et dénominateur par $e^{2x-1}>0$ :

   $$f(1-x)=\frac{e^{1-x}}{e^{2-2x}+e}=\frac{e^{1-x}{e}^{2x-1}}{e^{2-2x}{e}^{2x-1}+e\times e^{2x-1}}=\frac{e^x}{e+e^{2x}}=f(x).$$

   (b) Pour tout $x$, les points d'abscisses $x$ et $1-x$ de $(\Gamma )$ ont la même ordonnée et sont symétriques par rapport à la droite $x=\frac{1}{2}$ : la droite d'équation $x=\frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(\Gamma )$. (c) Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$ et $e^{2x}\to 0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{0}{0+e}=0$. Comme $f(x)=f(1-x)$ et que $1-x\to -\infty$ quand $x\to +\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{X\to -\infty }f(X)=0$. (d) La droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale à $(\Gamma )$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

   1. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (quotient de fonctions dérivables, dénominateur non nul) et

   $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(e^{2x}+e)-e^x\times 2e^{2x}}{(e^{2x}+e{)}^2}=\frac{e^x(e-e^{2x})}{(e^{2x}+e{)}^2}=f(x)\times \frac{e-e^{2x}}{e+e^{2x}}.$$

   En divisant numérateur et dénominateur de la dernière fraction par $e$ : $f^{\prime }(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}$. (b) $f(x)>0$ et $1+e^{2x-1}>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-e^{2x-1}$, qui est positif si et seulement si $2x-1<0$, soit $x<\frac{1}{2}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,\frac{1}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{1}{2},+\infty [$ ; elle admet un maximum en $\frac{1}{2}$ : $f(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{e}}{e+e}=\frac{1}{2\sqrt{e}}$. Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)\le \frac{1}{2\sqrt{e}}<\frac{1}{2}$ (car $2\sqrt{e}>2$), et $f(x)>0$ comme quotient de deux nombres strictement positifs : $0<f(x)<\frac{1}{2}$.

   1. [Figure : repère orthogonal, $1$ cm en abscisse et $2$ cm en ordonnée. La courbe est symétrique par rapport à la droite $x=\frac{1}{2}$, passe par le sommet $(\frac{1}{2};0,30)$ (maximum $\frac{1}{2\sqrt{e}}$), par les points $(0;0,27)$ et $(1;0,27)$ (car $f(0)=f(1)=\frac{1}{1+e}$), croît sur $]-\infty ,\frac{1}{2}]$, décroît sur $[\frac{1}{2},+\infty [$ et admet l'axe des abscisses pour asymptote des deux côtés, en restant strictement au-dessus.]
   2. (a) Dans ${\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$, posons $t=1-x$ ($x=1-t$, $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$ ; $x=\frac{1}{2}\to t=\frac{1}{2}$, $x=1\to t=0$) :

   $${\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{2}}^{0}f(1-t)(-\mathrm{d}t)={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(1-t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(t)\mathrm{d}t$$

   d'après I.1.(a). Donc ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$. (b) Par la relation de Chasles : ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$.

   1. (a) Posons $t=e^x$ : $\mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x$, $x=0\to t=1$, $x=\frac{1}{2}\to t=\sqrt{e}$, et $f(x)\mathrm{d}x=\frac{e^x\mathrm{d}x}{(e^x{)}^2+e}=\frac{\mathrm{d}t}{t^2+e}$. Donc ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+e}$. (b) La fonction $t|\to \frac{1}{\sqrt{e}}arctan(\frac{t}{\sqrt{e}})$ a pour dérivée $\frac{1}{\sqrt{e}}\times \frac{1}{\sqrt{e}}\times \frac{1}{1+\frac{t^2}{e}}=\frac{1}{e}\times \frac{e}{e+t^2}=\frac{1}{t^2+e}$. Donc

   $${\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+e}=\frac{1}{\sqrt{e}}[arctan(\frac{t}{\sqrt{e}}){]}_1^{\sqrt{e}}=\frac{1}{\sqrt{e}}(arctan(1)-arctan(\frac{1}{\sqrt{e}}))=\frac{1}{\sqrt{e}}(\frac{\pi }{4}-arctan(\frac{1}{\sqrt{e}})).$$

   Or pour $u>0$, $arctan(\frac{1}{u})=\frac{\pi }{2}-arctan(u)$ : en effet $\frac{\pi }{2}-arctan(u)\in ]0,\frac{\pi }{2}[$ et $\tan (\frac{\pi }{2}-arctan(u))=\frac{1}{\tan (arctan(u))}=\frac{1}{u}$. Avec $u=\sqrt{e}$ : $\frac{\pi }{4}-arctan(\frac{1}{\sqrt{e}})=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}+arctan(\sqrt{e})=arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4}$. Donc

   $${\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4}).$$

   (c) Comme $f>0$ sur $[0,1]$, l'aire cherchée vaut, en unités d'aire, ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4})$ (question 4.(b)). L'unité d'aire vaut $1\times 2=2$ cm${}^2$, donc l'aire est

   $$\mathcal{A}=\frac{4}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4}){\text{ cm }}^2\approx 0,58{\text{ cm }}^2.$$

   Partie II.

   1. Pour $x\in \mathbb{R}$, posons $q=e^{2x-1}>0$. Alors $|1-q|\le 1+q$ (car $-1-q\le 1-q\le 1+q$), donc $|\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}|\le 1$. D'après I.2.(a) et $f(x)>0$ : $|f^{\prime }(x)|=f(x)|\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}|\le f(x)$.
   2. (a) Pour $x\in [0;\frac{1}{2}]$ : $x\le \frac{1}{2}$ donne $e^{2x-1}\le 1$, donc $f^{\prime }(x)\ge 0$ (I.2.(b)) ; et $f^{\prime }(x)\le |f^{\prime }(x)|\le f(x)<\frac{1}{2}$ (question 1 et I.2.(b)). Donc $0\le f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$. (b) $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1\le |f^{\prime }(x)|-1\le f(x)-1<\frac{1}{2}-1<0$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (c) $g$ est continue et strictement décroissante sur $[0;\frac{1}{2}]$, $g(0)=f(0)=\frac{1}{1+e}>0$ et $g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{e}}-\frac{1}{2}<0$ (car $\frac{1}{2\sqrt{e}}<\frac{1}{2}$). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha \in ]0;\frac{1}{2}[$ ; elle est unique car $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Donc il existe un unique $\alpha \in ]0;\frac{1}{2}[$ tel que $f(\alpha )=\alpha$.
   3. (a) Initialisation : $u_0\in ]0;\frac{1}{2}[$. Hérédité : si $0<u_n<\frac{1}{2}$, alors $u_{n+1}=f(u_n)$ vérifie $0<u_{n+1}<\frac{1}{2}$ d'après I.2.(b) (vrai pour tout réel). Conclusion : $0<u_n<\frac{1}{2}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (b) Soit $n\in \mathbb{N}$. $f$ est dérivable sur $[0;\frac{1}{2}]$ et $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2}$ sur cet intervalle (question 2.(a)). $u_n$ et $\alpha$ appartiennent à $[0;\frac{1}{2}]$, donc, d'après l'inégalité des accroissements finis : $|f(u_n)-f(\alpha )|\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$, c'est-à-dire $|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$ (car $f(\alpha )=\alpha$). (c) Initialisation : $u_0$ et $\alpha$ sont dans $]0;\frac{1}{2}[$, donc $|u_0-\alpha |<\frac{1}{2}=(\frac{1}{2}{)}^1$. Hérédité : si $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{2}{)}^{n+1}$, alors d'après (b) $|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2}{)}^{n+1}=(\frac{1}{2}{)}^{n+2}$. Conclusion : $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{2}{)}^{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (d) ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{1}{2}{)}^{n+1}=0$ car $0<\frac{1}{2}<1$. Par encadrement, ${\lim }_{n\to +\infty }|u_n-\alpha |=0$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

   Partie III.

   1. (a) Pour $k\in 1,...,n$, en multipliant numérateur et dénominateur par $e^{\frac{k}{n}}$ :

   $$\frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}}=\frac{k{e}^{\frac{k}{n}}}{e^{\frac{2k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}+\frac{k}{n}}}=\frac{k{e}^{\frac{k}{n}}}{e^{\frac{2k}{n}}+e}=kf(\frac{k}{n})=n\times \frac{k}{n}f(\frac{k}{n}).$$

   Donc $S_n=\frac{1}{n(n+1)}{\sum }_{k=1}^{n}n\times \frac{k}{n}f(\frac{k}{n})=\frac{1}{n+1}{\sum }_{k=1}^{k=n}\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})$. (b) Posons $t=1-x$ ($\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$, $x=0\to t=1$, $x=1\to t=0$) :

   $${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_1^0(1-t)f(1-t)(-\mathrm{d}t)={\int }_0^1(1-t)f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}tf(t)\mathrm{d}t$$

   (en utilisant $f(1-t)=f(t)$). Donc $2{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$ d'après I.4.(b), d'où ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$.

   1. Écrivons $S_n=\frac{n}{n+1}\times \frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}h(\frac{k}{n})$ avec $h(x)=xf(x)$, continue sur $[0,1]$. $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}h(\frac{k}{n})$ est une somme de Riemann de $h$ sur $[0,1]$, donc converge vers ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4})$ (questions 1.(b) et I.5.(b)). Comme ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n}{n+1}=1$, la suite $(S_n)$ est convergente et

   $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{\sqrt{e}}(arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi }{4}).$$

2. Exercice 2Nombres complexes3.5 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1)

   Soit $\alpha \in [0;2\pi [$. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E_{\alpha })$ d'inconnue $z$ :

   $$(E_{\alpha }):z^2-2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1+2i)z+i{2}^{2\alpha +1}{e}^{i2\alpha }=0$$

   Partie I.

   1. (a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E_{\alpha })$ est : ${\Delta }_{\alpha }=(2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1-2i){)}^2$. (0,25 pt) (b) En déduire les deux solutions $a$ et $b$ de l'équation $(E_{\alpha })$ avec $|a|<|b|$. (0,5 pt)
   2. Vérifier que $\frac{b}{a}$ est un imaginaire pur. (0,25 pt)

   Partie II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On note par $M(z)$ le point d'affixe le nombre complexe $z$. On pose $\frac{b}{a}=\lambda i$ avec $\lambda =\mathrm{Im}(\frac{b}{a})$.

   1. On considère les points $A(a)$, $B(b)$ et $H(h)$ avec $\frac{1}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. (a) Montrer que : $\frac{h}{b-a}=-(\frac{\lambda }{{\lambda }^2+1})i$ puis en déduire que les droites $(OH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. (0,5 pt) (b) Montrer que : $\frac{h-a}{b-a}=\frac{1}{{\lambda }^2+1}$ puis en déduire que les points $H$, $A$ et $B$ sont alignés. (0,5 pt)
   2. Soient $I(m)$ le milieu du segment $[OH]$ et $J(n)$ le milieu du segment $[HB]$. (a) Montrer que : $\frac{n}{m-a}=-\lambda i$. (0,5 pt) (b) En déduire que les droites $(OJ)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires et que $OJ=|\lambda |AI$. (0,5 pt) (c) Soit $K$ le point d'intersection des droites $(OJ)$ et $(AI)$. Montrer que les points $K$, $I$, $H$ et $J$ sont cocycliques. (0,25 pt) (d) Montrer que les droites $(IJ)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires. (0,25 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. (a) ${\Delta }_{\alpha }=(2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1+2i){)}^2-4i{2}^{2\alpha +1}{e}^{2i\alpha }=2^{2\alpha }{e}^{2i\alpha }((1+2i{)}^2-8i)=2^{2\alpha }{e}^{2i\alpha }(1+4i-4-8i)=2^{2\alpha }{e}^{2i\alpha }(-3-4i)$. Or $(1-2i{)}^2=1-4i+4i^2=-3-4i$, donc ${\Delta }_{\alpha }=(2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1-2i){)}^2$. (b) Une racine carrée de ${\Delta }_{\alpha }$ est $\delta =2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1-2i)$, donc les solutions sont

   $$z^{\prime }=\frac{2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1+2i)+2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1-2i)}{2}=2^{\alpha }{e}^{i\alpha },z^{\prime \prime }=\frac{2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1+2i)-2^{\alpha }{e}^{i\alpha }(1-2i)}{2}=2^{\alpha }{e}^{i\alpha }\times 2i=2^{\alpha +1}i{e}^{i\alpha }.$$

   $|z^{\prime }|=2^{\alpha }<2^{\alpha +1}=|z^{\prime \prime }|$, donc $a=2^{\alpha }{e}^{i\alpha }$ et $b=2^{\alpha +1}i{e}^{i\alpha }$.

   1. $\frac{b}{a}=\frac{2^{\alpha +1}i{e}^{i\alpha }}{2^{\alpha }{e}^{i\alpha }}=2i$, qui est un imaginaire pur (donc $\lambda =2$).

   Partie II.

   1. (a) $\frac{1}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$, donc $h=\frac{ab}{a+b}$ (avec $a+b\ne 0$ car $\frac{b}{a}=\lambda i\ne -1$). Alors

   $$\frac{h}{b-a}=\frac{ab}{(a+b)(b-a)}=\frac{ab}{b^2-a^2}=\frac{\frac{b}{a}}{(\frac{b}{a}{)}^2-1}=\frac{\lambda i}{-{\lambda }^2-1}=-(\frac{\lambda }{{\lambda }^2+1})i,$$

   en divisant numérateur et dénominateur par $a^2$. Ce quotient $\frac{h-0}{b-a}$ est un imaginaire pur non nul ($\lambda =2\ne 0$), donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OH})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ : les droites $(OH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. (b) $h-a=\frac{ab}{a+b}-a=\frac{ab-a^2-ab}{a+b}=\frac{-a^2}{a+b}$, donc

   $$\frac{h-a}{b-a}=\frac{-a^2}{(a+b)(b-a)}=\frac{-a^2}{b^2-a^2}=\frac{1}{1-(\frac{b}{a}{)}^2}=\frac{1}{1+{\lambda }^2}.$$

   Ce quotient est un réel, donc $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires : les points $H$, $A$ et $B$ sont alignés.

   1. (a) $m=\frac{h}{2}$ et $n=\frac{h+b}{2}$, donc $\frac{n}{m-a}=\frac{h+b}{h-2a}$. Avec $h=\frac{ab}{a+b}$ :

   $$h+b=\frac{ab+ab+b^2}{a+b}=\frac{b(2a+b)}{a+b},h-2a=\frac{ab-2a^2-2ab}{a+b}=\frac{-a(2a+b)}{a+b}.$$

   Comme $2a+b=a(2+\lambda i)\ne 0$ : $\frac{n}{m-a}=\frac{b(2a+b)}{-a(2a+b)}=-\frac{b}{a}=-\lambda i$. (b) $\frac{n-0}{m-a}=-\lambda i$ est un imaginaire pur non nul, donc $(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{OJ})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ : les droites $(OJ)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires. De plus $|n\frac{|}{|}m-a|=|-\lambda i|=|\lambda |$, soit $OJ=|\lambda |AI$.

   1. (c) $K\in (OJ)\cap (AI)$, donc $(KJ)=(OJ)$ et $(KI)=(AI)$ sont perpendiculaires (question 2.(b)) : le triangle $KIJ$ est rectangle en $K$. D'autre part $I\in (OH)$ et $J\in (HB)=(AB)$ (les points $H$, $A$, $B$ étant alignés), et $(OH)\perp (AB)$ (question 1.(a)) : le triangle $HIJ$ est rectangle en $H$. Les points $K$ et $H$ voient donc le segment $[IJ]$ sous un angle droit : ils appartiennent tous deux au cercle de diamètre $[IJ]$. Donc $K$, $I$, $H$ et $J$ sont cocycliques. (d) Dans le triangle $OHB$, $I$ est le milieu de $[OH]$ et $J$ le milieu de $[HB]$ ; d'après le théorème des milieux, $(IJ)\parallel (OB)$. Or $\frac{b}{a}=\lambda i$ est un imaginaire pur non nul, donc $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ et $(OB)\perp (OA)$. Par conséquent $(IJ)\perp (OA)$.

3. Exercice 3Arithmétique3 pts

   Chapitres : Arithmétique dans ℤ · Arithmétique dans ℤ

   Soient $p$ un nombre premier impair et $a$ un entier premier avec $p$.

   1. Montrer que $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$. (0,5 pt)
   2. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation : $a{x}^2\equiv 1[p]$. Soit $x_0$ une solution de cette équation. (a) Montrer que : $x_0^{p-1}\equiv 1[p]$. (0,5 pt) (b) En déduire que : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. (0,25 pt)
   3. Soit $n$ un entier naturel non nul. (a) Montrer que si $p$ divise $2^{2n+1}-1$ alors $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. (0,5 pt) (b) En déduire que l'équation $(E):11x+(2^{2n+1}-1)y=1$ admet au moins une solution dans ${\mathbb{Z}}^2$. (0,5 pt)
   4. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(F):x^2+5x+2\equiv 0[11]$. (a) Montrer que : $(F)\iff 2(2x+5{)}^2\equiv 1[11]$. (0,25 pt) (b) En déduire que l'équation $(F)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. $p$ est premier et ne divise pas $a$ (car $a\wedge p=1$), donc d'après le petit théorème de Fermat, $a^{p-1}\equiv 1[p]$. Comme $p$ est impair, $\frac{p-1}{2}$ est un entier et

   $$a^{p-1}-1=(a^{\frac{p-1}{2}}-1)(a^{\frac{p-1}{2}}+1).$$

   $p$ divise ce produit ; $p$ étant premier, il divise l'un des facteurs (lemme d'Euclide) : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$.

   1. (a) $a{x}_0^2\equiv 1[p]$. Si $p$ divisait $x_0$, on aurait $a{x}_0^2\equiv 0[p]$, donc $1\equiv 0[p]$, impossible car $p\ge 3$. Donc $p$ ne divise pas $x_0$, et $x_0$ est premier avec le nombre premier $p$ : le petit théorème de Fermat donne $x_0^{p-1}\equiv 1[p]$. (b) En élevant $a{x}_0^2\equiv 1[p]$ à la puissance $\frac{p-1}{2}$ : $a^{\frac{p-1}{2}}{x}_0^{p-1}\equiv 1[p]$. Or $x_0^{p-1}\equiv 1[p]$ d'après (a), donc $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.
   2. (a) Supposons que $p$ divise $2^{2n+1}-1$, c'est-à-dire $2^{2n+1}\equiv 1[p]$, soit $2\times (2^n{)}^2\equiv 1[p]$. Ainsi $x_0=2^n$ est une solution de l'équation $2x^2\equiv 1[p]$, et $2$ est premier avec $p$ (car $p$ est un premier impair). D'après la question 2.(b) appliquée avec $a=2$ : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. (b) Montrons que $11$ et $2^{2n+1}-1$ sont premiers entre eux. Si $11$ divisait $2^{2n+1}-1$, la question 3.(a) avec $p=11$ (premier impair) donnerait $2^5\equiv 1[11]$. Or $2^5=32=2\times 11+10\equiv 10\equiv -1[11]$, et $-1\equiv .\neg 1[11]$ : contradiction. Donc $11$ ne divise pas $2^{2n+1}-1$ ; $11$ étant premier, $11\wedge (2^{2n+1}-1)=1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $11x+(2^{2n+1}-1)y=1$ : l'équation $(E)$ admet au moins une solution dans ${\mathbb{Z}}^2$.
   3. (a) $2(2x+5{)}^2=2(4x^2+20x+25)=8x^2+40x+50=8(x^2+5x+2)+34$, et $34=3\times 11+1\equiv 1[11]$. Donc $2(2x+5{)}^2\equiv 8(x^2+5x+2)+1[11]$ et

   $$2(2x+5{)}^2\equiv 1[11]\iff 8(x^2+5x+2)\equiv 0[11]\iff x^2+5x+2\equiv 0[11],$$

   la dernière équivalence venant de $8\wedge 11=1$ (théorème de Gauss pour le sens direct). Donc $(F)\iff 2(2x+5{)}^2\equiv 1[11]$. (b) Supposons que $x\in \mathbb{Z}$ soit solution de $(F)$. Alors $x_0=2x+5$ vérifie $2x_0^2\equiv 1[11]$, avec $2\wedge 11=1$ et $11$ premier impair. La question 2.(b) (avec $a=2$, $p=11$) donne $2^5\equiv 1[11]$, ce qui est faux puisque $2^5\equiv -1[11]$. Donc l'équation $(F)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$.

4. Exercice 4Structures algébriques3.5 pts

   Chapitres : Structures algébriques · Espaces vectoriels · Structures algébriques · Espaces vectoriels

   On rappelle que $({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),+,\times )$ est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice $O=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 00& 0& 00& 0& 0\end{array}\right)$ et d'unité la matrice $I=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 00& 1& 00& 0& 1\end{array}\right)$, et que $({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),+,\cdot )$ est un espace vectoriel réel.

   Soient la matrice $A=\left(\begin{array}{ccccccc}-1& -1& 0-1& -1& 0-1& 1& -2\end{array}\right)$ et l'ensemble $E=M(x)=I+xA\text{ / }x\in \mathbb{R}$.

   1. (a) Vérifier que : $A^2=-2A$. (0,25 pt) (b) En déduire que : $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ ; $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)$. (0,25 pt)
   2. (a) Calculer $M(\frac{1}{2})\times \left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 00& 0& 00& 0& 1\end{array}\right)$. (0,25 pt) (b) En déduire que la matrice $M(\frac{1}{2})$ n'est pas inversible dans $({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),\times )$. (0,25 pt)
   3. Montrer que : $E\setminus M(\frac{1}{2})$ est stable pour la multiplication dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. (0,25 pt) (On pourra utiliser l'identité : $(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{-1}{2}(x+y-2xy-\frac{1}{2})$.)
   4. Montrer que : $(E\setminus M(\frac{1}{2}),\times )$ est un groupe commutatif. (1 pt)
   5. On munit $E$ de la loi de composition interne $T$ définie par :

   $$\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2;M(x)TM(y)=M(x+y-\frac{1}{2})$$

   et on considère l'application $\phi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $E$ par : $\forall x\in \mathbb{R}$ ; $\phi (x)=M(\frac{1-x}{2})$. (a) Montrer que $\phi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$ et que $\phi (\mathbb{R})=E$. (0,5 pt) (b) En déduire que $(E,T)$ est un groupe commutatif. (0,25 pt)

   1. Montrer que $(E,T,\times )$ est un corps commutatif. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $A^2=\left(\begin{array}{ccccccc}-1& -1& 0-1& -1& 0-1& 1& -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccccccc}-1& -1& 0-1& -1& 0-1& 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}2& 2& 02& 2& 02& -2& 4\end{array}\right)=-2A$. (b) Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, en développant (le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition et $I$ est l'unité) :

   $$M(x)\times M(y)=(I+xA)(I+yA)=I+yA+xA+xy{A}^2=I+(x+y)A-2xyA=I+(x+y-2xy)A=M(x+y-2xy).$$

   1. (a) $M(\frac{1}{2})=I+\frac{1}{2}A=\left(\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$, donc

   $$M(\frac{1}{2})\times \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O.$$

   (b) Si $M(\frac{1}{2})$ était inversible, d'inverse $N$, on aurait en multipliant à gauche par $N$ : $\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 00& 0& 00& 0& 1\end{array}\right)=N\times O=O$, ce qui est faux. Donc $M(\frac{1}{2})$ n'est pas inversible dans $({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),\times )$.

   1. Remarquons que $M(x)=M(y)\iff (x-y)A=O\iff x=y$ (car $A\ne O$), donc $E\setminus M(\frac{1}{2})=M(x)\text{ / }x\in \mathbb{R}\setminus \frac{1}{2}$. Soient $M(x)$ et $M(y)$ dans $E\setminus M(\frac{1}{2})$, c'est-à-dire $x\ne \frac{1}{2}$ et $y\ne \frac{1}{2}$. Alors $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)$ et, d'après l'identité $(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{-1}{2}(x+y-2xy-\frac{1}{2})$, le membre de gauche étant non nul, $x+y-2xy\ne \frac{1}{2}$. Donc $M(x)\times M(y)\in E\setminus M(\frac{1}{2})$ : cet ensemble est stable pour la multiplication.
   2. Notons $E^{\ast }=E\setminus M(\frac{1}{2})$. Loi interne : question 3. Associativité : la multiplication est associative dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Commutativité : $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)=M(y+x-2yx)=M(y)\times M(x)$. Élément neutre : $I=M(0)\in E^{\ast }$ (car $0\ne \frac{1}{2}$) et $I$ est l'unité de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Symétrique : soit $M(x)\in E^{\ast }$. Cherchons $y$ tel que $M(x)\times M(y)=M(0)$, soit $x+y-2xy=0$, soit $y(1-2x)=-x$, soit $y=\frac{x}{2x-1}$ (possible car $x\ne \frac{1}{2}$). De plus $y\ne \frac{1}{2}$ : sinon $2x=2x-1$, absurde. Donc $M(\frac{x}{2x-1})\in E^{\ast }$ et $M(x)\times M(\frac{x}{2x-1})=M(\frac{x}{2x-1})\times M(x)=M(0)=I$. Conclusion : $(E^{\ast },\times )$ est un groupe commutatif.
   3. (a) Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ :

   $$\phi (x)T\phi (y)=M(\frac{1-x}{2})TM(\frac{1-y}{2})=M(\frac{1-x}{2}+\frac{1-y}{2}-\frac{1}{2})=M(\frac{1-(x+y)}{2})=\phi (x+y).$$

   Donc $\phi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$. De plus $\phi (\mathbb{R})\subset E$ et, pour tout $M(t)\in E$, $x=1-2t\in \mathbb{R}$ vérifie $\phi (x)=M(\frac{1-1+2t}{2})=M(t)$ ; donc $\phi (\mathbb{R})=E$. (b) $(\mathbb{R},+)$ est un groupe commutatif et $\phi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$ ; l'image $\phi (\mathbb{R})=E$ d'un groupe commutatif par un homomorphisme est un groupe commutatif. Donc $(E,T)$ est un groupe commutatif, d'élément neutre $\phi (0)=M(\frac{1}{2})$, le symétrique de $M(t)=\phi (1-2t)$ étant $\phi (2t-1)=M(1-t)$.

   1. $(E,T)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $M(\frac{1}{2})$ (question 5). La multiplication est une loi interne dans $E$ (question 1.(b) : $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)\in E$), associative et commutative (question 4), d'élément neutre $I=M(0)\in E$, avec $M(0)\ne M(\frac{1}{2})$. Distributivité de $\times$ par rapport à $T$ : pour $x,y,z$ réels,

   $$M(x)\times (M(y)TM(z))=M(x)\times M(y+z-\frac{1}{2})=M(x+y+z-\frac{1}{2}-2x(y+z-\frac{1}{2}))=M(2x+y+z-2xy-2xz-\frac{1}{2}),$$

   $$(M(x)\times M(y))T(M(x)\times M(z))=M(x+y-2xy)TM(x+z-2xz)=M(2x+y+z-2xy-2xz-\frac{1}{2}).$$

   Les deux sont égaux, et la distributivité à droite s'en déduit par commutativité de $\times$. Donc $(E,T,\times )$ est un anneau commutatif unitaire. Enfin, tout élément de $E$ autre que le neutre $M(\frac{1}{2})$ de la première loi est inversible pour $\times$ (question 4). Donc $(E,T,\times )$ est un corps commutatif.