Structures algébriques

Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $\ast :E\times E\to E$, $(x,y)\mapsto x\ast y$.

• Associativité : $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pour tous $x,y,z$.
• Commutativité : $x\ast y=y\ast x$.
• Élément neutre : $e\in E$ tel que $e\ast x=x\ast e=x$ pour tout $x$.
• Symétrique de $x$ : $x^{\prime }\in E$ tel que $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.

• $(\mathbb{R},+)$ : associative, commutative, neutre $0$, symétrique $-x$.
• $(\mathbb{R},\times )$ : associative, commutative, neutre $1$, symétrique $\frac{1}{x}$ pour $x\ne 0$.
• $(\mathbb{N},+)$ : associative, commutative, neutre $0$, mais pas de symétrique général.

Un groupe $(G,\ast )$ est un ensemble $G$ muni d'une loi $\ast$ telle que :

1. $\ast$ est associative ;
2. $\ast$ a un élément neutre $e$ ;
3. tout élément de $G$ a un symétrique pour $\ast$.

Si $\ast$ est commutative, on parle de groupe abélien (ou commutatif).

• $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ sont abéliens.
• $(\mathbb{N},+)$ n'est pas un groupe (pas de symétrique).
• Rotations du plan (avec composition) : groupe non abélien (plusieurs dimensions), mais les rotations de même centre sont abéliennes.

Une partie $H\subseteq G$ est un sous-groupe de $(G,\ast )$ si :

1. $H$ est non vide (contient $e$) ;
2. $\forall x,y\in H,x\ast y\in H$ ;
3. $\forall x\in H,x^{-1}\in H$ (symétrique dans $H$).

$H$ est un sous-groupe de $G$ ssi $H\ne \varnothing$ et $\forall x,y\in H,x\ast y^{-1}\in H$.

$n\mathbb{Z}=nk|k\in \mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Soient $(G,\ast )$ et $(G^{\prime },\star )$ deux groupes. Une application $f:G\to G^{\prime }$ est un morphisme de groupes si :

• Isomorphisme : morphisme bijectif.
• Endomorphisme : morphisme $G\to G$.
• Automorphisme : endomorphisme bijectif.

Soit $f:G\to G^{\prime }$ un morphisme. Alors :

• $f(e_G)=e_{G^{\prime }}$.
• $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$.
• $\mathrm{Ker}(f)=x\in G|f(x)=e_{G^{\prime }}$ est un sous-groupe de $G$.
• $\mathrm{Im}(f)=f(G)$ est un sous-groupe de $G^{\prime }$.

Un anneau $(A,+,\times )$ est un ensemble muni de deux lois telles que :

1. $(A,+)$ est un groupe abélien (neutre $0$) ;
2. $\times$ est associative avec élément neutre $1$ ;
3. Distributivité de $\times$ par rapport à $+$.

Un corps est un anneau commutatif $K$ tel que $(K\setminus 0,\times )$ soit un groupe (c'est-à-dire, tout élément non nul est inversible).