Espaces vectoriels

Un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni :

• d'une addition $+:E\times E\to E$ faisant de $(E,+)$ un groupe abélien ;
• d'une multiplication externe $\mathbb{R}\times E\to E$, $(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$, vérifiant :

1. $1x=x$ ;
2. $(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)$ ;
3. $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$ ;
4. $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$. Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs, ceux de $\mathbb{R}$ scalaires.

• ${\mathbb{R}}^n$ avec les opérations coordonnées par coordonnées.
• Vecteurs du plan, de l'espace.
• Ensemble des polynômes $\mathbb{R}[X]$ (espace de dimension infinie).
• Ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Une partie $F\subseteq E$ est un sous-espace vectoriel si :

1. $F$ contient le vecteur nul ;
2. $F$ stable par $+$ : $\forall x,y\in F,x+y\in F$ ;
3. $F$ stable par multiplication externe : $\forall \lambda \in \mathbb{R},x\in F,\lambda x\in F$.

$F$ est un sous-espace vectoriel ssi $F\ne \varnothing$ et $\forall \lambda \in \mathbb{R},\forall x,y\in F,x+\lambda y\in F$.

Une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_p}$ est un vecteur de la forme ${\lambda }_1\overrightarrow{u_1}+\dots +{\lambda }_p\overrightarrow{u_p}$ avec ${\lambda }_i\in \mathbb{R}$.

L'ensemble des combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_p}$ est noté $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_p})$ : c'est un sous-espace vectoriel (le plus petit contenant les $\overrightarrow{u_i}$).

Soit $(\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_p})$ une famille de $E$.

• Libre : ${\lambda }_1\overrightarrow{u_1}+\dots +{\lambda }_p\overrightarrow{u_p}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {\lambda }_1=\dots ={\lambda }_p=0$.
• Liée : non libre (il existe une combinaison non triviale nulle).
• Génératrice de $E$ : $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_p})=E$.

Une base de $E$ est une famille à la fois libre et génératrice.

Si $E$ admet une base finie, toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; c'est la dimension de $E$, notée $dimE$.

• $dim{\mathbb{R}}^n=n$ ; base canonique $(\overrightarrow{e_1},\dots ,\overrightarrow{e_n})$.
• $dim{\mathbb{R}}^2=2$ (plan vectoriel).
• $dim{\mathbb{R}}^3=3$ (espace vectoriel).
• Sous-espace formé d'une droite passant par $0$ : dimension $1$.
• Sous-espace formé d'un plan passant par $0$ : dimension $2$.

Une application linéaire $f:E\to F$ vérifie :

L'ensemble $\mathrm{Ker}(f)=x\in E|f(x)=0$ est un sous-espace de $E$. $\mathrm{Im}(f)=f(E)$ est un sous-espace de $F$. Théorème du rang : $dimE=dim\mathrm{Ker}(f)+dim\mathrm{Im}(f)$ (dimension finie).