Nombres complexes (partie 1)

L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes contient $\mathbb{R}$ et un élément particulier $i$ tel que $i^2=-1$. Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique :

$x$ est la partie réelle $Re(z)$, $y$ la partie imaginaire $Im(z)$.

• $(x_1+i{y}_1)+(x_2+i{y}_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$.
• $(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$.
• $\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$ pour $z\ne 0$.

Le conjugué de $z=x+iy$ est $\overline{z}=x-iy$.

• $\overline{\overline{z}}=z$.
• $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$.
• $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$.
• $\overline{{\frac{z}{z}}^{\prime }}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$.
• $z+\overline{z}=2Re(z)$ ; $z-\overline{z}=2iIm(z)$.
• $z\in \mathbb{R}\iff z=\overline{z}$ ; $z$ imaginaire pur $\iff z=-\overline{z}$.

Le module de $z=x+iy$ est $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. C'est un réel $\ge 0$.

• $|z{|}^2=z\overline{z}$.
• $|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$.
• $|{\frac{z}{z}}^{\prime }|=|z|/|z^{\prime }|$ ($z^{\prime }\ne 0$).
• $|z|=0\iff z=0$.
• Inégalité triangulaire : $|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|$.

$z_1=3+2i$ et $z_2=1-i$. Affixe de $M_1(3;2)$ et $M_2(1;-1)$. $z_1+z_2=4+i$ : point $(4;1)$. $z_1-z_2=2+3i$ : vecteur $\overrightarrow{M_2{M}_1}$.

L'équation $a{z}^2+bz+c=0$ (avec $a,b,c\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$) et $\Delta =b^2-4ac$ :

• Si $\Delta >0$ : deux racines réelles $z=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
• Si $\Delta =0$ : racine double $-\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta <0$ : deux racines complexes conjuguées :

$z^2+2z+5=0$. $\Delta =4-20=-16<0$. $z=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$.