Suites numériques

• $(u_n)$ arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$, $u_n=u_0+nr$, et $u_0+u_1+\dots +u_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.
• $(u_n)$ géométrique de raison $q\ne 1$ : $u_{n+1}=q{u}_n$, $u_n=u_0{q}^n$, et $u_0+u_1+\dots +u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$ pour tout $n$.
• $(u_n)$ est majorée par $M$ si $u_n\le M$ pour tout $n$, minorée par $m$ si $u_n\ge m$ pour tout $n$, bornée si elle est majorée et minorée.

1. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.
2. Si $u_n>0$, comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
3. Si $u_n=f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0,+\infty [$, $(u_n)$ a la même monotonie que $f$.
4. Pour une suite récurrente, raisonner par récurrence (voir plus loin).

$u_n=\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}$. Comme $\frac{1}{n+1}$ décroît, $(u_n)$ est croissante ; et $1\le u_n<2$ : elle est bornée.

$(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$, noté ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\ell$, si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang :

Une suite qui ne converge pas diverge.

$\lim u_n=+\infty$ si tout intervalle $]A,+\infty [$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : $\forall A>0,\exists N,\forall n\ge N,u_n>A$. De même pour $-\infty$.

• Si une suite converge, sa limite est unique.
• Toute suite convergente est bornée. (La réciproque est fausse : $u_n=(-1{)}^n$ est bornée et diverge.)
• Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

$u_n=\frac{1}{n}$ converge vers $0$ : pour $\epsilon >0$, $|u_n-0|<\epsilon$ dès que $n>\frac{1}{\epsilon }$. La suite $u_n=(-1{)}^n$ diverge : ses termes valent alternativement $1$ et $-1$ et ne peuvent s'approcher d'une seule valeur.

• $\lim \frac{1}{n}=0$, $\lim \frac{1}{n^k}=0$ ($k\ge 1$), $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$ ;
• $\lim n^k=+\infty$, $\lim \sqrt{n}=+\infty$ ;
• suite géométrique : $\lim q^n=0$ si $-1<q<1$ ; $=1$ si $q=1$ ; $=+\infty$ si $q>1$ ; pas de limite si $q\le -1$.

Si $u_n=f(n)$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\ell$ (fini ou infini), alors $\lim u_n=\ell$. Les techniques de calcul des limites de fonctions (terme dominant, quantité conjuguée, gendarmes) s'appliquent donc aux suites.

$u_n=\frac{3n^2-1}{n^2+n}\to 3$ (termes dominants) ; $v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0$ (conjuguée) ; $w_n=5(\frac{1}{3}{)}^n+2\to 2$ ; $t_n=2^n-n$ : $2^n-n=2^n(1-\frac{n}{2^n})\to +\infty$.

Si $\lim u_n=\ell$ et $\lim v_n={\ell }^{\prime }$ (réels) : $\lim (u_n+v_n)=\ell +{\ell }^{\prime }$, $\lim (u_n{v}_n)=\ell {\ell }^{\prime }$, $\lim \frac{u_n}{v_n}={\frac{\ell }{\ell }}^{\prime }$ si ${\ell }^{\prime }\ne 0$. Avec des limites infinies, les mêmes formes indéterminées qu'en fonctions apparaissent : $\infty -\infty$, $0\times \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\frac{0}{0}$.

À partir d'un certain rang :

1. si $v_n\le u_n\le w_n$ et $\lim v_n=\lim w_n=\ell$, alors $\lim u_n=\ell$ ;
2. si $|u_n-\ell |\le v_n$ et $\lim v_n=0$, alors $\lim u_n=\ell$ ;
3. si $u_n\ge v_n$ et $\lim v_n=+\infty$, alors $\lim u_n=+\infty$ ;
4. si $u_n\le w_n$ et $\lim w_n=-\infty$, alors $\lim u_n=-\infty$.

$u_n=\frac{\cos n}{n}$ : $|u_n|\le \frac{1}{n}\to 0$, donc $\lim u_n=0$. $u_n=n+(-1{)}^n$ : $u_n\ge n-1\to +\infty$, donc $\lim u_n=+\infty$. $u_n=\frac{n+\sin n}{n+1}$ : $\frac{n-1}{n+1}\le u_n\le 1$ et la borne inférieure tend vers $1$, donc $\lim u_n=1$.

(Inégalité de Bernoulli et limite de $q^n$) Pour $a>0$, $(1+a{)}^n\ge 1+na$ (récurrence). Si $q>1$, on écrit $q=1+a$ : $q^n\ge 1+na\to +\infty$, donc $\lim q^n=+\infty$. Si $0<q<1$, alors $\frac{1}{q}>1$ et $q^n=\frac{1}{(\frac{1}{q}{)}^n}\to 0$.

1. Toute suite croissante et majorée converge.
2. Toute suite décroissante et minorée converge.
3. Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

$u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$ est croissante (on ajoute un terme positif) et l'on montre que $u_n\le 2-\frac{1}{n}<2$ : elle converge (vers $\frac{{\pi }^2}{6}$, mais cela dépasse le programme).

Si $f(I)\subset I$ (on dit que $I$ est stable par $f$) et si $u_0\in I$, alors $u_n\in I$ pour tout $n$ (récurrence immédiate). C'est ainsi que l'on prouve un encadrement du type $0\le u_n\le 2$.

• Si $f$ est croissante sur $I$ stable, la suite est monotone : croissante si $u_1\ge u_0$, décroissante si $u_1\le u_0$ (par récurrence : $u_n\le u_{n+1}\Rightarrow f(u_n)\le f(u_{n+1})$).
• Autre méthode : étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$ ; alors $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$ a le signe de $f(u_n)-u_n$.

Si $(u_n)$ converge vers $\ell \in I$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell )=\ell$ : la limite est un point fixe de $f$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ ; conjecturer monotonie et limite.
2. Montrer par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable $I$ (encadrement).
3. Étudier la monotonie (récurrence avec $f$ croissante, ou signe de $f(x)-x$).
4. Conclure à la convergence par le théorème de la convergence monotone.
5. Déterminer la limite : résoudre $f(\ell )=\ell$ dans $I$.

$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$, avec $f(x)=\sqrt{x+2}$.

• $u_1=\sqrt{2}\approx 1,41$, $u_2\approx 1,85$ : on conjecture une suite croissante de limite $2$.
• Encadrement. $[0,2]$ est stable : si $0\le x\le 2$, alors $2\le x+2\le 4$ et $\sqrt{2}\le f(x)\le 2$. Par récurrence, $0\le u_n\le 2$ pour tout $n$.
• Monotonie. $f$ est croissante et $u_1\ge u_0$ ; par récurrence, si $u_n\le u_{n+1}$ alors $f(u_n)\le f(u_{n+1})$, soit $u_{n+1}\le u_{n+2}$. La suite est croissante.
• Convergence. Croissante et majorée par $2$, elle converge vers $\ell \in [0,2]$ avec $\ell =\sqrt{\ell +2}$, soit ${\ell }^2-\ell -2=0$, d'où $\ell =2$ (la racine $-1$ n'est pas dans $[0,2]$).

Soit $u_{n+1}=a{u}_n+b$ avec $a\ne 1$. Le point fixe est $\ell =\frac{b}{1-a}$ (solution de $\ell =a\ell +b$). La suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ : $v_{n+1}=a{u}_n+b-\ell =a{u}_n+b-(a\ell +b)=a(u_n-\ell )=a{v}_n$. Donc $u_n=\ell +(u_0-\ell )a^n$, et si $-1<a<1$, $\lim u_n=\ell$.

$u_0=5$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+4$. Point fixe : $\ell =\frac{4}{1-\frac{1}{3}}=6$. $v_n=u_n-6$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $v_0=-1$, donc $u_n=6-(\frac{1}{3}{)}^n$ et $\lim u_n=6$. Somme : ${\sum }_{k=0}^n{u}_k=6(n+1)-\frac{1-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}=6(n+1)-\frac{3}{2}(1-(\frac{1}{3}{)}^{n+1})$.

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $\lim (v_n-u_n)=0$.

Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite $\ell$, et pour tout $n$ : $u_n\le \ell \le v_n$.

$u_n=1-\frac{1}{n}$ et $v_n=1+\frac{1}{n}$ ($n\ge 1$) : $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît, $v_n-u_n=\frac{2}{n}\to 0$. Elles sont adjacentes et convergent vers $1$. Les suites adjacentes servent à encadrer une limite inconnue avec une précision $v_n-u_n$ aussi petite que l'on veut.