Suites numériques, variable aléatoire, calcul des probabilités, étude d'une fonction exponentielle et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques4 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{u_n-2}{2u_n+5}$, $n\in \mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$. (1 pt)
   3. On pose : $v_n=\frac{1}{1+u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Calculer $v_{n+1}-v_n$ puis en déduire que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{2}{3}$. (1 pt) (c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt) (d) En déduire que $u_n=\frac{-2n+2}{2n+1}$. (0,5 pt)
   4. Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,25 pt)
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   1. $u_1=\frac{u_0-2}{2u_0+5}=\frac{2-2}{4+5}=\frac{0}{9}=0$ et $u_2=\frac{u_1-2}{2u_1+5}=\frac{0-2}{0+5}=-\frac{2}{5}$. Donc $u_1=0$ et $u_2=-\frac{2}{5}$.
   2. Montrons par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$. Initialisation : $u_0=2>-1$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n>-1$. Alors $u_{n+1}+1=\frac{u_n-2}{2u_n+5}+1=\frac{u_n-2+2u_n+5}{2u_n+5}=\frac{3u_n+3}{2u_n+5}=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$. Comme $u_n>-1$ : $u_n+1>0$ et $2u_n+5>-2+5=3>0$, donc $u_{n+1}+1>0$, c'est-à-dire $u_{n+1}>-1$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n>-1$ (en particulier $1+u_n\ne 0$, ce qui justifie la définition de $v_n$ à la question 3).
   3. (a) $v_0=\frac{1}{1+u_0}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$. (b) D'après le calcul de la question 2, $1+u_{n+1}=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$, donc $v_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n+1}}=\frac{2u_n+5}{3(u_n+1)}$. Alors $v_{n+1}-v_n=\frac{2u_n+5}{3(u_n+1)}-\frac{1}{u_n+1}=\frac{2u_n+5-3}{3(u_n+1)}=\frac{2u_n+2}{3(u_n+1)}=\frac{2(u_n+1)}{3(u_n+1)}=\frac{2}{3}$. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\frac{2}{3}$ (constante) : $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\frac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=\frac{1}{3}$. (c) $v_n=v_0+nr=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n=\frac{2n+1}{3}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (d) De $v_n=\frac{1}{1+u_n}$ on tire $1+u_n=\frac{1}{v_n}=\frac{3}{2n+1}$, d'où $u_n=\frac{3}{2n+1}-1=\frac{3-(2n+1)}{2n+1}=\frac{-2n+2}{2n+1}$.
   4. $u_n=\frac{-2n+2}{2n+1}=\frac{n(-2+\frac{2}{n})}{n(2+\frac{1}{n})}=\frac{-2+\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}$ ; comme ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}=0$, on obtient ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\frac{-2}{2}=-1$.

2. Exercice 2Variable aléatoire1 pt

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous.

   [Tableau : $x_i$ : $0$, $1$, $2$ ; $p(X=x_i)$ : $...$, $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$.]

   1. Déterminer $p(X=0)$. (0,5 pt)
   2. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. (0,5 pt)
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   1. La somme des probabilités d'une loi de probabilité vaut $1$ : $p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=1$, donc $p(X=0)=1-\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{8}{8}-\frac{4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
   2. $E(X)=0\times p(X=0)+1\times p(X=1)+2\times p(X=2)=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{1}{8}+2\times \frac{3}{8}=\frac{1}{8}+\frac{6}{8}=\frac{7}{8}$. Donc $E(X)=\frac{7}{8}=0,875$.

3. Exercice 3Calcul des probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

   On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

   On considère les trois événements suivants : $A$ : « Les deux boules tirées sont rouges » $B$ : « La première boule tirée est noire et la deuxième est rouge » $C$ : « L'une des boules tirées est noire et l'autre est rouge »

   1. Montrer que : $p(A)=\frac{2}{5}$. (0,75 pt)
   2. Montrer que : $p(B)=\frac{4}{15}$. (0,75 pt)
   3. Montrer que : $p(C)=\frac{8}{15}$. (0,75 pt)
   4. Les événements $B$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. (0,75 pt)
   Voir la correction

   On tire successivement et sans remise $2$ boules parmi $6$ : un résultat est un couple ordonné de deux boules distinctes (arrangement), tous équiprobables : $\mathrm{card}(\Omega )=A_6^2=6\times 5=30$.

   1. $A$ : la première boule est rouge ($4$ choix) et la deuxième est rouge parmi les $3$ rouges restantes ($3$ choix) : $\mathrm{card}(A)=4\times 3=12$. Donc $p(A)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
   2. $B$ : la première boule est noire ($2$ choix) et la deuxième est rouge ($4$ choix) : $\mathrm{card}(B)=2\times 4=8$. Donc $p(B)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$.
   3. $C$ est réalisé si la première est noire et la deuxième rouge ($2\times 4=8$ résultats) ou si la première est rouge et la deuxième noire ($4\times 2=8$ résultats) : $\mathrm{card}(C)=8+8=16$. Donc $p(C)=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$.
   4. Si $B$ est réalisé (noire puis rouge), alors $C$ est réalisé : $B\subset C$, donc $B\cap C=B$ et $p(B\cap C)=p(B)=\frac{4}{15}=\frac{60}{225}$. D'autre part $p(B)\times p(C)=\frac{4}{15}\times \frac{8}{15}=\frac{32}{225}$. Comme $p(B\cap C)\ne p(B)\times p(C)$, les événements $B$ et $C$ ne sont pas indépendants.

4. Exercice 4Étude d'une fonction numérique et calcul intégral12 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{3e^x-1}{e^x+1}$ et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Justifier que ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$, puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1 pt)
   2. (a) Vérifier que $f(x)=3-\frac{4}{e^x+1}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$, puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1 pt)
   3. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{4e^x}{(e^x+1{)}^2}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (1 pt) (b) Donner le signe de $f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (c) Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   4. (a) Calculer $f(-\ln 3)$. (0,5 pt) (b) Déterminer l'image de l'intervalle $[-\ln 3,0]$ par la fonction $f$. (0,5 pt)
   5. Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $x_0=0$. (1 pt)
   6. (a) Montrer que $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4e^x(1-e^x)}{(e^x+1{)}^3}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (1 pt) (b) En déduire que $(C_f)$ admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées. (1,5 pt)
   7. Soit $F$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=4\ln (e^x+1)-x$. (a) Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt) (b) Dans la figure ci-dessous $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Montrer que l'aire du domaine limité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 2$ (la partie hachurée) est égale à $(4\ln 3-5\ln 2)$ u.a. (1,5 pt)

   [Figure : dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, la courbe $(C_f)$ est croissante, passe par le point $(0,1)$, coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-\ln 3\approx -1,1$ et se rapproche des droites $y=-1$ en $-\infty$ et $y=3$ en $+\infty$. La partie hachurée est le domaine situé sous $(C_f)$, au-dessus de l'axe des abscisses, entre l'axe des ordonnées ($x=0$) et la droite d'équation $x=\ln 2$.]

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   1. ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }(3e^x-1)=-1$ et ${\lim }_{x\to -\infty }(e^x+1)=1$ ; par quotient, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{-1}{1}=-1$. Interprétation : la droite d'équation $y=-1$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
   2. (a) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $3-\frac{4}{e^x+1}=\frac{3(e^x+1)-4}{e^x+1}=\frac{3e^x+3-4}{e^x+1}=\frac{3e^x-1}{e^x+1}=f(x)$. (b) ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }(e^x+1)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{4}{e^x+1}=0$. D'après (a), ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3-0=3$. Interprétation : la droite d'équation $y=3$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   3. (a) On dérive l'expression $f(x)=3-\frac{4}{e^x+1}$ : avec $u(x)=e^x+1$, $u^{\prime }(x)=e^x$ et $(\frac{1}{u}{)}^{\prime }=-u^{\prime }/u^2$, on obtient pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=0-4\times \frac{-e^x}{(e^x+1{)}^2}=\frac{4e^x}{(e^x+1{)}^2}$. (b) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $e^x>0$ et $(e^x+1{)}^2>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$. (c) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Tableau de variations : $x$ de $-\infty$ à $+\infty$, $f^{\prime }(x)>0$, $f$ croît de $-1$ (limite en $-\infty$) à $3$ (limite en $+\infty$).
   4. (a) $e^{-\ln 3}=\frac{1}{3}$, donc $f(-\ln 3)=\frac{3\times \frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1-1}{\frac{4}{3}}=0$. (b) $f(0)=\frac{3e^0-1}{e^0+1}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$. $f$ est continue et strictement croissante sur $[-\ln 3,0]$, donc $f([-\ln 3,0])=[f(-\ln 3),f(0)]=[0,1]$.
   5. La tangente au point d'abscisse $x_0=0$ a pour équation $y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=\frac{4e^0}{(e^0+1{)}^2}=\frac{4}{4}=1$. Donc $(T):y=x+1$.
   6. (a) $f^{\prime }(x)=\frac{4e^x}{(e^x+1{)}^2}$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=4e^x$, $u^{\prime }(x)=4e^x$, $v(x)=(e^x+1{)}^2$, $v^{\prime }(x)=2e^x(e^x+1)$. Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4e^x(e^x+1{)}^2-4e^x\times 2e^x(e^x+1)}{(e^x+1{)}^4}=\frac{4e^x(e^x+1)[(e^x+1)-2e^x]}{(e^x+1{)}^4}=\frac{4e^x(1-e^x)}{(e^x+1{)}^3}$. (b) Pour tout $x$ : $4e^x>0$ et $(e^x+1{)}^3>0$, donc $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $1-e^x$ : $1-e^x>0<\Rightarrow e^x<1<\Rightarrow x<0$. Ainsi $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,0[$, $f^{\prime \prime }(0)=0$ et $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]0,+\infty [$ : $f^{\prime \prime }$ s'annule en $0$ en changeant de signe, donc $(C_f)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$, de coordonnées $(0,f(0))=(0,1)$.
   7. (a) $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (car $e^x+1>0$) et, avec $(\ln u{)}^{\prime }=u^{\prime }/u$ : $F^{\prime }(x)=4\times \frac{e^x}{e^x+1}-1=\frac{4e^x-(e^x+1)}{e^x+1}=\frac{3e^x-1}{e^x+1}=f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (b) Sur $[0,\ln 2]$, $f$ est croissante et $f(0)=1>0$, donc $f(x)\ge 1>0$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. L'aire de la partie hachurée est donc $\mathcal{A}={\int }_0^{\ln 2}f(x)\mathrm{d}x=[F(x){]}_0^{\ln 2}=F(\ln 2)-F(0)$. $F(\ln 2)=4\ln (e^{\ln 2}+1)-\ln 2=4\ln (2+1)-\ln 2=4\ln 3-\ln 2$ et $F(0)=4\ln (e^0+1)-0=4\ln 2$. $\mathcal{A}=4\ln 3-\ln 2-4\ln 2=4\ln 3-5\ln 2$. Donc l'aire de la partie hachurée est $(4\ln 3-5\ln 2)$ u.a. (soit environ $0,93$ u.a.).