MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Mathématiques · 2ème Bac

Probabilités

Dénombrement, axiomes de probabilité, conditionnement, indépendance, variable aléatoire, loi binomiale.

الاحتمالات : التعداد، موضوعات الاحتمال، الاحتمال الشرطي، الاستقلال، المتغير العشوائي والقانون الحداني.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Dénombrement (rappels)

On rappelle pour un ensemble fini de cardinal $n$ :

Nombre de permutations : $n!$ .
Nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ : $A_{n}^{p} = n! / (n - p)!$ .
Nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ : $(p n) = n! / (p! (n - p)!)$ .

Propriété : Formule du binôme

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .

Univers, événements, probabilité

Pour aller plus loin, en Python : simuler des lancers de dés

Tu peux modifier le programme avant de l'exécuter. Rien n'est envoyé : Python tourne dans ton navigateur.

La fréquence observée sur un grand nombre de répétitions se rapproche de la probabilité théorique 1/6 : c’est la loi des grands nombres, que l’on rencontre après le lycée.

Définition

On appelle expérience aléatoire une expérience dont l'issue dépend du hasard. L'ensemble des issues possibles est l'univers $Ω$ . Un événement est une partie de $Ω$ .

Deux événements $A, B$ sont :

incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ ;
contraires si $B = Ω A$ (noté $A$ ).

Définition

Une probabilité sur un univers fini $Ω$ est une application $P : P (Ω) \to [0, 1]$ telle que :

$P (Ω) = 1$ ;
pour $A, B$ incompatibles, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Propriété : Propriétés

$P (\emptyset) = 0$ .
$P (A) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ .

Propriété : Équiprobabilité

Si toutes les issues de $Ω$ sont équiprobables :

P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{cas favorables}{cas possibles} .

Probabilité conditionnelle

Figure interactive : arbre de probabilités, probabilités totales et formule de Bayes

P(A)0,3P(B | A)0,8P(B | non A)0,1P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,1 = 0,31 ; P(A | B) = 0,774

Sur l’arbre, on multiplie le long d’une branche (P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)) et on additionne les branches qui mènent à B : c’est la formule des probabilités totales. La formule de Bayes remonte l’arbre : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Définition

Soit $B$ un événement tel que $P (B) \neq = 0$ . La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :

P_{B} (A) = P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .

On en déduit la formule des probabilités composées :

P (A \cap B) = P (B) \times P (A ∣ B) = P (A) \times P (B ∣ A) .

Théorème : Formule des probabilités totales

Si $B_{1}, \dots, B_{n}$ forment une partition de $Ω$ (deux à deux incompatibles et d'union $Ω$ ) avec chaque $P (B_{i}) > 0$ , alors pour tout événement $A$ :

P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) \times P (A ∣ B_{i}) .

Théorème : Formule de Bayes

Sous les mêmes hypothèses, pour $P (A) \neq = 0$ :

P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( B _{k} ) P ( A ∣ B _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )} .

Indépendance

Définition

Deux événements $A, B$ sont indépendants si :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .

De façon équivalente (si $P (B) \neq = 0$ ) : $P (A ∣ B) = P (A)$ .

Propriété

Si $A$ et $B$ sont indépendants, il en est de même pour $A$ et $B$ , pour $A$ et $B$ , pour $A$ et $B$ .

Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire réelle (VA) sur $Ω$ est une application $X : Ω \to R$ . Son support est $X (Ω) = x_{1}, \dots, x_{n}$ . La loi de $X$ est la donnée des $p_{i} = P (X = x_{i})$ .

Définition : Espérance, variance

Pour une VA $X$ de support $x_{1}, \dots, x_{n}$ :

E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (X = x_{i}), V (X) = E ((X - E (X))^{2}) .

L'écart-type est $σ (X) = V (X)$ .

Propriété

$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ .
$E (a X + b) = a E (X) + b$ ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

Loi binomiale

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p \in [0, 1]$ est une expérience à deux issues : succès (proba $p$ ) et échec (proba $1 - p$ ). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves indépendantes.

Définition

Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli $(n, p)$ . Alors $X$ suit une loi binomiale notée $X B (n, p)$ , avec :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k \in 0, \dots, n .

Propriété

Si $X B (n, p)$ :

$E (X) = n p$ ;
$V (X) = n p (1 - p)$ ;
$σ (X) = n p (1 - p)$ .

Exemple

On lance une pièce équilibrée $10$ fois. Soit $X$ le nombre de piles. Alors $X B (10, \frac{1}{2})$ , $E (X) = 5$ , $V (X) = 2, 5$ . $P (X = 7) = (7 10) (\frac{1}{2})^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0, 117$ .

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
On tire simultanément $3$ cartes d'un jeu de $32$ . Le nombre de tirages possibles est :
2.
Par définition, une probabilité $P$ sur un univers fini $Ω$ vérifie :
3.
Si $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ et $P (A \cap B) = 0, 2$ , alors $P (A \cup B)$ vaut :
4.
Si $P (A \cap B) = 0, 12$ et $P (B) = 0, 3$ , alors $P (A ∣ B)$ vaut :
5.
Une usine a deux machines : $M_{1}$ fabrique $60%$ des pièces avec $2%$ de défectueuses, $M_{2}$ fabrique $40%$ des pièces avec $5%$ de défectueuses. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est :
6.
Avec les données de la question précédente, la probabilité qu'une pièce défectueuse provienne de $M_{2}$ est :
7.
Soient $A$ et $B$ indépendants avec $P (A) = 0, 6$ et $P (B) = 0, 3$ . Alors $P (A \cap B)$ vaut :
8.
Deux événements $A$ et $B$ incompatibles, de probabilités non nulles, sont :
9.
Soit $X$ à valeurs dans ${0; 1; 2}$ avec $P (X = 0) = 0, 2$ , $P (X = 1) = 0, 5$ et $P (X = 2) = 0, 3$ . Son écart-type $σ (X)$ vaut :
10.
Soit $X$ qui suit la loi binomiale $B (4, \frac{1}{3})$ . Alors $P (X = 1)$ vaut :

Encore 10 questions.